扩展卡尔曼滤波器

在估计理论中，扩展卡尔曼滤波器(extended Kalman filter），简称EKF，是卡尔曼滤波的非线性版本，会对平均和协方差的估测值进行线性化。在良好定义的转移模型中，已将扩展卡尔曼滤波器视为^[1]非线性状态观测器、导航系统和全球定位系统的de facto标准^[2]。

历史

建立卡尔曼滤波器数学基础的论文是在1959年到1961年之间发行的^[3][4][5]。若是线性系统模型，在转换系统和量测系统上有独立白色噪音，卡尔曼滤波是最佳的线性估测器。只是，大部份工程领域的系统属于非线性系统，因此许多人努力将滤波器应用在非线性系统上。大部份的研究是在艾姆斯研究中心完成的^[6][7]。扩展卡尔曼滤波器应用微积分学里的多变数泰勒级数展开，在工作点附近对模型线性化。若系统模型未知或是不准确，也可以用蒙地卡罗方法（特别是粒子滤波器）来进行估测。蒙地卡罗方法出现的时间比扩展卡尔曼滤波器要早，但在中等大小的状态空间中，其运算量会比扩展卡尔曼滤波器高很多。

公式

在扩展卡尔曼滤波器，状态转换模型和观测模型可以不是状态的线性函数，只要是可微函数即可。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})+{\boldsymbol {w}}_{k-1}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k})+{\boldsymbol {v}}_{k}}$

此处w_k和v_k是过程杂讯和观测杂讯，假设是平均为0的多元正态分布杂讯，其协方差矩阵为Q_k和R_k。u_k是控制向量。

可以用函数f从过去的观测值中计算预测值，并且用h从预测状态中计算预测量测量。不过f和h无法直接计算协方差。会改计算偏微分矩阵（雅可比矩阵）。

在每一步时间，会用当时的预测状态计算雅可比矩阵。矩阵可以用在卡尔曼滤波器方程中。此作法在本质上在目前的预测附近对非线性函数线性化。

离散时间预测方程和更新方程

标示${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$表示${\displaystyle \mathbf {x} }$在时间n的估测值，假设观测值一直到m ≤ n。

预测

预测的状态估测	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}=f({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})}$
预测的协方估测	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}{{\boldsymbol {F}}_{k}^{T}}+{\boldsymbol {Q}}_{k-1}}$

更新

测量残差	${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}={\boldsymbol {z}}_{k}-h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})}$
残馀协方差	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}+{\boldsymbol {R}}_{k}}$
接近最佳化的卡尔曼增益	${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{k}={\boldsymbol {P}}_{k|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}{\boldsymbol {S}}_{k}^{-1}}$
更新的状态估测	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+{\boldsymbol {K}}_{k}{\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}}$
更新的协方差估计	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k}=({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {K}}_{k}{{\boldsymbol {H}}_{k}}){\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}$

其中状态变换和估测矩阵可以用以下的雅可比矩阵定义

${\displaystyle {{\boldsymbol {F}}_{k}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

缺点和其他替代方案

卡尔曼滤波器是最佳的估测器，但扩展卡尔曼滤波器多半不是最佳估测器（若量测和状态转换模型都线性时，扩展卡尔曼滤波器是最佳估测器，但此时的扩展卡尔曼滤波器就是卡尔曼滤波器）此外，若状态的初始估测错误，或是过程的建模不正确，因为线性化的关系，滤波器会快速发散。另一个扩展卡尔曼滤波器的问题是其估测协方差矩阵常常会低估，因此若没有加入“稳定性杂讯”，在统计观点上可能会有不一致（英语：Consistency (statistics)）的风险 ^[8]。

另外也要考虑到非线性滤波问题在统计的本质上是无限维的，不适合用单一的平均和方差-协方差的估测器来完全表示最佳化滤波器。也要注意到即使在非常简单的一维系统（例如立方感测器，观测值和实际状态之间的关系是三次方的）下，扩展卡尔曼滤波器也可能会有很差的性能^[9]，其最佳化滤波器可能是双模（两个最大值）的^[10]，其且其结构很复杂，无法有效的用单一的均值和方差估测器来表示，对于二次感测器也有类似问题^[11]。 针对这些案例，已找到投影滤波器（英语：projection filters）是替代方案，已应用在导航上^[12]。其他通用的非线性滤波器（像是全粒子滤波器）也可以考虑。

虽然如此，扩展卡尔曼滤波器因为有还可接受的性能，仍是导航和GPS的业界标准^{[来源请求]}。

广义化

连续时间的扩展卡尔曼滤波器

其模型如下;

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} (t)&=h{\bigl (}\mathbf {x} (t){\bigr )}(t)\end{aligned}}}$

初始化

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}{\text{, }}\mathbf {P} (t_{0})=Var{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}}$

预测-更新

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {K} (t){\Bigl (}\mathbf {z} (t)-h{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t){\bigr )}{\Bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}-\mathbf {K} (t)\mathbf {H} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {Q} (t)\\\mathbf {K} (t)&=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} (t)^{T}\mathbf {S} (t)^{-1}\\\mathbf {F} (t)&=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}\\\mathbf {H} (t)&=\left.{\frac {\partial h}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t)}\end{aligned}}}$

和离散时间的扩展卡尔曼滤波器不同，在连续时间的扩展卡尔曼滤波器里，预测和更新步骤是互相耦合的^[13]。

离散时间量测

大部份的物理系统是连续时间模型，但会用数位处理器在离散时间量测，以进行状态估测。因此，系统模型和量测模型为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}&\mathbf {v} _{k}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$.

初始化

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0|0}=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]},\mathbf {P} _{0|0}=E{\bigl [}\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)^{T}{\bigr ]}}$

预测

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{solve }}&{\begin{cases}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}+\mathbf {Q} (t)\end{cases}}\qquad {\text{with }}{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}(t_{k-1})={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1|k-1}\\\mathbf {P} (t_{k-1})=\mathbf {P} _{k-1|k-1}\end{cases}}\\\Rightarrow &{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}={\hat {\mathbf {x} }}(t_{k})\\\mathbf {P} _{k|k-1}=\mathbf {P} (t_{k})\end{cases}}\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle \mathbf {F} (t)=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}}$

更新

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}{\bigl (}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}+\mathbf {R} _{k}{\bigr )}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}{\bigl (}\mathbf {z} _{k}-h({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}){\bigr )}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}}$

其中

${\displaystyle {\textbf {H}}_{k}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\textbf {x}}}}\right\vert _{{\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}}}$

更新方程和离散时间中的方程相同^[14]。

相关条目

• 卡尔曼滤波
• 集合卡尔曼滤波器（英语：Ensemble Kalman filter）
• 快速卡尔曼滤波器（英语：Fast Kalman filter）
• 不变扩展滤波器（英语：Invariant extended Kalman filter）
• 滚动时域估计
• 粒子滤波器
• 滤波问题
• 投影滤波器（英语：Projection filters）