无字证明

无字证明（英语：proof without words）是指仅用图像而无需文字解释就能不证自明的数学命题。由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理。^[1]无字证明通常只是用图像来说明一个证明中的特例，因而需要推广才能构成完整的证明。^[2]

奇数之和定理的无字证明

《周髀算经》中勾股定理的无字证明

延森不等式的无字证明

示例

奇数之和

从1至2n-1之间的所有奇数之和为平方数n²的无字证明如右图所示。^[3]第一个正方形由一个方块组成，即1为首个平方数。之后增加3个白色方块以组成第二个正方形，总共有4个方块，即4为第二个平方数。之后再增加5个黑色方块组成下一个平方数9，并以此类推。

勾股定理

勾股定理可以由右边第二张图（出自《周髀算经》）进行证明。通过两种不同的方法计算大的正方形的面积可以得到

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$

虽然没有上一个例子那么明显，但也可以看作是无字证明。^[4]

延森不等式

延森不等式可由右边第三张图加以证明。沿X轴的点曲线为X的假想分布，沿Y轴的点曲线则为相应的Y的分布。可以看到随着X值的增大，凸映射Y(X)使得分布不断地“延长”。^[5]

其他范例

无字证明范例

• 
  证明${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}}$，其中${\displaystyle 0<x<90^{\circ }}$
• 
  证明二元算几不等式${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}{}}$^[6]
• 
  证明二元算几不等式${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}{}}$^[6]
• 
  证明在欧氏几何中，任意三角形内角和为180°
• 
  证明几何级数${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ={\frac {1}{3}}}$

参见

• 披萨定理
• 可视化微积分（英语：Visual calculus）（visual calculus）