普朗克单位制

普朗克单位制是一种计量单位制度，由德国物理学家马克斯·普朗克最先提出，因此命名为普朗克单位制。这种单位制是自然单位制的一个实例，将某些基础物理常数的值定为1，这些基础物理常数是：

• 真空光速${\displaystyle c}$
• 万有引力常数${\displaystyle G}$
  • 普朗克劳仑兹-黑维塞单位制将${\displaystyle 4\pi G}$定为1，普朗克高斯单位制将${\displaystyle G}$定为1
• 狄拉克常数${\displaystyle \hbar }$
• 真空电容率${\displaystyle \epsilon _{0}}$
  • 普朗克劳仑兹-黑维塞单位制将${\displaystyle \epsilon _{0}}$定为1，普朗克高斯单位制将${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$定为1
• 波兹曼常数${\displaystyle k_{B}}$

马克斯·普朗克

上述每一个常数都至少出现于一个基本物理理论：${\displaystyle c\,\!}$在狭义相对论、${\displaystyle G\,\!}$在广义相对论与牛顿的万有引力定律、${\displaystyle \hbar \,\!}$在量子力学、${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$在静电学、${\displaystyle k_{B}\,\!}$在统计力学与热力学。实际上，以上的五个常数在许多物理定律的代数表达式中多次出现，因此引入普朗克单位制可以将这些代数表达式简化，普朗克单位制也因此成为了理论物理学一个非常有用的工具。在统一理论方面的研究，特别如量子重力学中，普朗克单位制能够给研究者一点大概的提示。

普朗克单位制是一种独特的自然单位制，因为普朗克单位制不是以任何原器、人体的性质（例如：发光强度（烛光）、光通量（流明）、等效剂量（西弗））、地球或宇宙的性质（例如：标准重力、标准大气压、哈伯常数）、特定物质的性质（例如：水的熔点、水的密度、水的比热）、或甚至基本粒子的性质（例如：基本电荷、电子质量、质子质量）来定义的。普朗克单位制只以自由空间的性质（例如：真空光速、自由空间阻抗、波兹曼常数）来定义及作为归一化对象。

有些学者认为普朗克单位制比其它自然单位制更为自然。例如，有些其它自然单位制使用电子质量为基本单位。但是电子只是许多种已知具有质量的基本粒子之一。这些粒子的质量都不一样。在基础物理学里，并没有任何绝对因素，促使选择电子质量为基本单位，而不选择其它粒子质量。

物质的量（莫耳）的自然单位就用“个”（一个就是1）就可以了，不必用到“莫耳”，而发光强度（烛光）的自然单位就用“瓦特/立弪”就可以了，因为这两者的比值仅为发光效率，而发光效率是没有单位因次的，就跟角度（弪）以及精细结构常数一样，另外电荷的部分，虽然SI制的基本单位是电流而非电荷，但是实际上，电荷才是更基本的单位（就好比重力米制的基本单位是力而非质量，但是实际上，质量才是更基本的单位）。

（或者你也可以这样说：普朗克单位制也将亚佛加厥常数${\displaystyle N_{A}}$定为1，从而用“个”（一个就是1）作为物质的量的单位（对应国际单位制的莫耳），并且普朗克单位制不考虑发光强度（对应国际单位制的烛光），仅以辐射强度（对应国际单位制的“瓦特每立弪”来表示，就好比普朗克单位制不考虑等效剂量（对应国际单位制的西弗），仅以辐射剂量（对应国际单位制的戈雷）来表示，在普朗克单位制中，发光效率属于无因次量，就跟弧度和立弪一样）

基本普朗克单位

每一个单位制都有一组基本单位。（在国际单位制里，长度的基本单位是公尺，时间的基本单位是秒，等等）在普朗克单位制里，长度的基本单位是普朗克长度，时间的基本单位是普朗克时间，等等。这些单位都是由表1的五个基础物理常数衍生的。表2展示出这些基本普朗克单位。

表1：基础物理常数

常数	符号	因次	国际单位等值与不确定度[1]
真空光速	${\displaystyle c\,\!}$	LT−1	299 792 458 m s−1
万有引力常数	${\displaystyle G\,\!}$	L3M−1T−2	6.674 30(15)×10−11 m3 kg−1 s−2
约化普朗克常数	${\displaystyle \hbar \,\!}$	L2MT−1	1.054 571 817…×10−34 J s
真空电容率	${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$	L−3M−1T2Q2	8.854 187 8128(13)×10−12 F/m
波兹曼常数	${\displaystyle k_{B}\,\!}$	L2MT−2Θ−1	1.380 649×10−23 J K−1

字键：${\displaystyle \mathrm {L} \,\!}$ = 长度，${\displaystyle \mathrm {T} \,\!}$ = 时间，${\displaystyle \mathrm {M} \,\!}$ = 质量，${\displaystyle \mathrm {Q} \,\!}$ = 电荷，${\displaystyle \Theta \,\!}$ = 温度。因为定义的关系，光速、约化普朗克常数与波兹曼常数的数值是精确值，不存在误差（在2019年以前，约化普朗克常数与波兹曼常数的数值还不是精确值，反倒真空电容率的数值是精确值，只有光速从1983年以来一直都是精确值，见2019年国际单位制基本单位重新定义）。

表2：基本普朗克单位

单位名称	因次	表达式		国际单位制等值
		普朗克劳仑兹-黑维塞单位制	普朗克高斯单位制	普朗克劳仑兹-黑维塞单位制	普朗克高斯单位制
普朗克长度	长度 (L)	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}}$	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	6965572938000000000♠5.72938×10−35 m	6965161623000000000♠1.61623×10−35 m
普朗克质量	质量 (M)	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	6991613971000000000♠6.13971×10−9 kg	6992217647000000000♠2.17647×10−8 kg
普朗克时间	时间 (T)	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	6957191112000000000♠1.91112×10−43 s	6956539115999999999♠5.39116×10−44 s
普朗克电荷	电荷 (Q)	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\hbar c\epsilon _{0}}}}$	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \hbar c\epsilon _{0}}}}$	6981529081999999999♠5.29082×10−19 C	6982187555000000000♠1.87555×10−18 C
普朗克温度	温度 (Θ)	${\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}}}}$	${\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G{k_{\text{B}}}^{2}}}}}$	7031399674000000000♠3.99674×1031 K	7032141681000000000♠1.41681×1032 K

使用普朗克单位后，表1的五个基础物理常数的数值都约化为1，因此表2的普朗克长度，普朗克质量，普朗克时间，普朗克电荷，与普朗克温度这些计量也都约化为1。这可以无因次地表达为

（普朗克劳仑兹-黑维塞单位制）因为${\displaystyle c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=k_{B}=1\,\!}$，所以${\displaystyle l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!}$。

（普朗克高斯单位制）因为${\displaystyle c=G=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1\,\!}$，所以${\displaystyle l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!}$。

衍生普朗克单位

在任何单位系统里，许多物理量的单位是由基本单位衍生的。表3展示了一些在理论物理研究里常见的衍生普朗克单位。实际上，大多数普朗克单位不是太大，就是太小，并不适合于实验或任何实际用途。

表3：衍生普朗克单位

单位名称	因次	表达式		国际单位制等值
		普朗克劳仑兹-黑维塞单位制	普朗克高斯单位制	普朗克劳仑兹-黑维塞单位制	普朗克高斯单位制
普朗克面积	面积（L2）	${\displaystyle A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}$	${\displaystyle A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	6931328258000000000♠3.28258×10−69 m2	6930261220000000000♠2.61220×10−70 m2
普朗克动量	动量（LMT−1）	${\displaystyle p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	7000184064000000000♠1.84064 N⋅s	7000652489000000000♠6.52489 N⋅s
普朗克能量	能量（L2MT−2）	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	7008551809000000000♠5.51809×108 J	7009195611000000000♠1.95611×109 J
普朗克力	力（LMT−2）	${\displaystyle F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}}$	${\displaystyle F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	7042963122000000000♠9.63122×1042 N	7044121029000000000♠1.21029×1044 N
普朗克功率	功率（L2MT−3）	${\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}}$	${\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	7051288737000000000♠2.88737×1051 W	7052362837000000000♠3.62837×1052 W
普朗克密度	密度（L−3M）	${\displaystyle d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	7094326456000000000♠3.26456×1094 kg/m3	7096515518000000000♠5.15518×1096 kg/m3
普朗克角频率	角频率（T−1）	${\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}}$	${\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	7042523254000000000♠5.23254×1042 rad/s	7043185488999999999♠1.85489×1043 rad/s
普朗克压力	压力（L−1MT−2）	${\displaystyle \Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle \Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	7111293404000000000♠2.93404×10111 Pa	7113463325000000000♠4.63325×10113 Pa
普朗克电流	电流（T−1Q）	${\displaystyle i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}\epsilon _{0}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi c^{6}\epsilon _{0}}{G}}}}$	7024276844000000000♠2.76844×1024 A	7025347893000000000♠3.47893×1025 A
普朗克电压	电压（L2MT−2Q−1）	${\displaystyle U_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\frac {P_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi G\epsilon _{0}}}}}$		7027104296000000000♠1.04296×1027 V
普朗克阻抗	阻抗（L2MT−1Q−2）	${\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{c\epsilon _{0}}}=c\mu _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=Z_{0}={\frac {1}{Y_{0}}}}$	${\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi c\epsilon _{0}}}={\frac {c\mu _{0}}{4\pi }}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}={\frac {1}{4\pi Y_{0}}}}$	7002376730000000000♠376.730 Ω	7001299792000000000♠29.9792 Ω

注：${\displaystyle Z_{0}}$为自由空间阻抗，${\displaystyle Y_{0}}$为自由空间导纳。

简化物理方程式

严格地说，不同因次的物理量，虽然它们的数值可能相等，仍旧不能用在相等式的两边。但是，在理论物理学里，为了简化运算，我们可以把这顾虑放在一边。简化的过程称为无因次化。表4展示出普朗克单位怎样通过无因次化使许多物理方程式变得更简单。

表4：物理方程式与其无因次形式

	通常形式（国际单位制形式）	普朗克劳仑兹-黑维塞单位制形式	普朗克高斯单位制形式
万有引力定律	${\displaystyle F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!}$
薛丁格方程式	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ${\displaystyle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ${\displaystyle =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$
普朗克关系式	${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ \,\!}$	${\displaystyle {E=\omega }\ \,\!}$
狭义相对论的质能方程式	${\displaystyle {E=mc^{2}}\ \,\!}$	${\displaystyle {E=m}\ \,\!}$
广义相对论的爱因斯坦场方程式	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ \,\!}$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }}\ \,\!}$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ \,\!}$
一个粒子的每个自由度的热能	${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}k_{B}T}\ \,\!}$	${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ \,\!}$
库仑定律	${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!}$
麦克斯韦方程组	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$

参阅

• 因次分析
• 物理常数
• 普朗克尺寸
• 普朗克粒子
• 普朗克纪元
• 劳仑兹-黑维塞单位制
• 高斯单位制
• 国际单位制

参考文献