普法夫约束

动力学中的普法夫约束（Pfaffian constraint）是一种用以下形式描述系统的方式：

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$^[1]

其中${\displaystyle L}$是系统限制方程的个数。

非完整系统不一定必须是普法夫形式，比如不等式约束。

完整约束一定可以表示为普法夫约束的形式。

推导

假设一个用以下非完整约束（英语：Holonomic constraints）方程组描述的非完整系统

${\displaystyle f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L}$

其中${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$是n个描述系统的广义座标，而${\displaystyle L}$是系统约束方程的数量，可以将每一个方程用连锁律微分：

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$

经过置换后可以得到下式：

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$

例子

单摆

单摆

考虑单摆，其重物的运动会受到摆长的约束，其重物的速度向量${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$随时都会和位置向量${\displaystyle {\overrightarrow {L}}}$垂直。因为二个向量永远正交，因此其点积恒为零。重物的位置和速度可以用以下${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$座标系统中的系统来定义：

${\displaystyle {\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0}$

简化点积后可得：

${\displaystyle x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0}$

将等号两边同乘${\displaystyle {\text{d}}t}$，结果就是约束方程的普法夫约束形式：

${\displaystyle x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0}$

普法夫形式很好用，若非完整约束方程存在，可以将普法夫形式积分来求解系统的非完整约束方程。此例中的积分是很明显的：

${\displaystyle \int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C}$

其中C是积分常数。

也可以写成

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=L^{2}}$

${\displaystyle L^{2}}$写成平方项只因为其必定是正数。在实际系统中，座标一定都是实数。而${\displaystyle L}$就是单摆的摆长。

机器人

机器人运动规划中的普法夫约束（Pfaffian constraint），是由k个线性无关约束的集合，而这些约束都对速度线性，也就是说

${\displaystyle A(q){\dot {q}}=0}$

轮式机器人（wheeled robot）中滚动不滑动的条件即为普法夫约束^[2]。