降阶的LQG控制问题几乎和全阶的LQG控制问题相同。令
表示降阶LQG控制器的状态,唯一的差异是LQG控制器的状态维度
是事先定义好的值,比受控系统的状态维度
要少。
降阶LQG控制器可以表示为下式:


上述公式刻意写的类似传统全阶LQG控制器的形式,降阶的LQG控制问题也可以改写为下式:


其中

降阶LQG控制器的矩阵
和
是由所谓的最佳投影方程(optimal projection equations、OPE)来决定[3]。
维的最佳投影方阵
是OPE的核心。此矩阵的秩在所有状态下几乎都等于
。相关投影为斜投影(oblique projection):
。最佳投影方程包括四个矩阵微分方程。前二个是LQG控制器对应的矩阵Riccati微分方程的扩展。在方程式中
表示
,而
为
维的单位矩阵
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\[6pt]&{}+\tau _{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '_{\perp }(t),\\[6pt]P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\[6pt]&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\[6pt]&{}+\tau '_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau _{\perp }(t),\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78427fd12c675f686999ba90ae076cb79b5b33c9)

若LQG的维度没有减少,也就是
,则
,上述二个方程就是二个没有耦合的矩阵Riccati微分方程,对应全阶的LQG控制器。若
,则两个方程会有斜投影项
。这也是为何降阶的LQG控制器无法分离的原因,斜投影
是由另外二个矩阵微分方程所决定,其中也和秩的条件(rank conditions)有关。这四个矩阵微分方程组成了最佳投影方程。为了要列出另外二个矩阵微分方程,先定义以下二个矩阵:


则最后二个矩阵微分方程如下:
almost everywhere,
almost everywhere,
其中

此处的 * 表示群广义逆矩阵(group generalized inverse)或Drazin逆矩阵,是唯一的,定义如下

其中 + 是摩尔-彭若斯广义逆.
矩阵
都需要是非负对称矩阵。可以建构最佳投影方程的解,而此解可以决定降阶LQG控制器矩阵
和
:




上式中的矩阵
是符合以下性质的矩阵:
几乎在所有状态下。
可以由
的投影分解中得到[4]:
若降阶LQG问题中的所有矩阵都是非时变的,且最终时间(horizon)
趋近无限大,则最佳降阶LQG控制器和最佳投影方程也都会是非时变的[1]。此情形下,最佳投影方程左侧的微分项会为零。