最小偏向角

此章节需要扩充：用微积分推导最小偏向运算式 (2020年6月1日)

在最小偏向下，棱镜中的折射光线平行于其底部。换句话说，光线对于棱镜的对称轴是对称的^[1]^[2]^[3]。此外，折射角是相等的，即 $r 1 = r 2$ 。入射角和出射角彼此相等（ $i = e$ ）。这在下图中清晰可见。

通过利用棱镜的几何形状，可以推导出最小偏向的公式。该方法涉及通过使用上述内容，在偏向和棱镜角度方面替换司乃耳定律中的变数。

从角度之和 ${\textstyle \triangle OPQ}$ ，

$A+\angle OPQ+\angle OQP=180^{\circ }$ $\implies A=180^{\circ }-(90-r)-(90-r)$ $\implies r={\frac {A}{2}}$

使用外角定理 ${\textstyle \triangle PQR}$ ，

$D_{m}=\angle RPQ+\angle RQP$ $\implies D_{m}=i-r+i-r$ $\implies 2r+D_{m}=2i$ $\implies A+D_{m}=2i$ $\implies i={\frac {A+D_{m}}{2}}$

这也可以通过以下管道得出 $i = e$ 在棱镜公式中： $i + e = A + δ$

根据司乃耳定律，

$n_{21}={\dfrac {\sin i}{\sin r}}$

$\therefore n_{21}={\dfrac {\sin \left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \left({\dfrac {A}{2}}\right)}}$ ^[4]^[3]^[1]^[2]^[5]。

$\therefore D_{m}=2\sin ^{-1}\left(n\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\right)-A$

（此处 $n$ 是折射率， $A$ 是棱柱的角度， $D m$ 是最小偏向角。）

这是一种方便的方法，用于量测才料（液体或气体）的折射率，方法是将光线以最小偏向穿过填充有材料的棱镜或浸入其中的玻璃棱镜，棱镜的厚度可以忽略不计^[5]^[3]^[1]。

举个例子：

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玻璃的折射率为1.5。等边棱镜的最小偏向角以及相应的入射角是理想的。
答案：37°, 49° 解决方案：在这里， $A = 60°$ , $n = 1.5$ 将它们代入上述公式， ${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {60+\delta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {60}{2}}\right)}}=1.5}$ ${\textstyle \implies {\frac {\sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)}{\sin(30)}}=1.5}$ ${\textstyle \implies \sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)=1.5\times 0.5}$ ${\textstyle \implies 30+{\frac {\delta }{2}}=\sin ^{-1}(0.75)}$ ${\textstyle \implies {\frac {\delta }{2}}=48.6-30}$ ${\textstyle \implies \delta =2\times 18.6}$ ${\textstyle \therefore \delta \approx 37^{\circ }}$ 此外， ${\textstyle i={\frac {(A+\delta )}{2}}={\frac {60+2\times 18.6}{2}}\approx 49^{\circ }}$ 这在下图中也很明显。

玻璃的折射率为1.5。等边棱镜的最小偏向角以及相应的入射角是理想的。

答案：37°, 49°

解决方案：在这里， $A = 60°$ , $n = 1.5$

将它们代入上述公式，

${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {60+\delta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {60}{2}}\right)}}=1.5}$

${\textstyle \implies {\frac {\sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)}{\sin(30)}}=1.5}$

${\textstyle \implies \sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)=1.5\times 0.5}$

${\textstyle \implies 30+{\frac {\delta }{2}}=\sin ^{-1}(0.75)}$

${\textstyle \implies {\frac {\delta }{2}}=48.6-30}$

${\textstyle \implies \delta =2\times 18.6}$

${\textstyle \therefore \delta \approx 37^{\circ }}$

此外，

${\textstyle i={\frac {(A+\delta )}{2}}={\frac {60+2\times 18.6}{2}}\approx 49^{\circ }}$

这在下图中也很明显。

更多信息 在这里，

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如果折射率为1.4的棱镜的最小偏向角等于其折射角，则棱镜需要的角度。
答案：60° 解决方案：在这里， ${\textstyle \delta =r}$ ${\textstyle \implies \delta ={\frac {A}{2}}}$ 使用上述公式， ${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {A+{\frac {A}{2}}}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}=1.4}$ ${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$ ${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}}$ ${\textstyle \therefore A=60^{\circ }}$

如果折射率为1.4的棱镜的最小偏向角等于其折射角，则棱镜需要的角度。

答案：60°

解决方案：

在这里， ${\textstyle \delta =r}$

${\textstyle \implies \delta ={\frac {A}{2}}}$

使用上述公式， ${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {A+{\frac {A}{2}}}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}=1.4}$

${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$

${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}}$

${\textstyle \therefore A=60^{\circ }}$

此外，偏向角随任意入射角的变化，可以概括为一个方程式，通过将δ表示为 $i$ ，在使用司乃耳定律的棱镜公式中：

$\delta =i-A+\sin ^{-1}\left(n\cdot \sin \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{n}}\right)\right)\right)=f(i)(say)$

找到该方程的最小值也将给出与上述最小偏向相同的关系。

放 $f'(i)=0$ ，我们得到，

${\frac {\cos \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\cos i}{\sqrt {\left(1-u^{2}\sin ^{2}\left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}i}{u^{2}}}\right)}}}=1$ ，通过求解该方程，我们可以得到棱镜角度一定值的入射角值和棱镜的相对折射率值，从而得到最小偏向角。给出了方程和描述here （页面存档备份，存于互联网档案馆）。