有效数字

有效数字（significant figures^[1][2]，significant digits^[3][4]，简写 sig figs）或有效数^[5]，用来表示量的多少，同时反映测量准确程度的各数字称为有效数字^[6]。

有效数字分为两类，其中一类是一些常数(如π、e、得失电子数、方程式系数、稀释倍数等)。这些非测定值的有效数字位数可以看作无限多位，按计算式中需要而定^[6]。 另一类是测量值或与测量值有关的计算值，它的位数多少，反映测量的准确程度。它们由准确数字和可疑数字组成。这些有效数字的最后一位数字的值是不确定的，称为可疑数字，一般来说有正负一个单位的误差^[6]。

有效数字个数

从第一个非零的数字算起的所有数字；例如：1.24和0.00124的有效数字都是3位，3.180是4位有效数字。也可以采用科学计数法来确定有效数字位数，例如0.0318有3位有效数字，可以记作3.18 × 10^-2。

有效数字的修约规则

为了避免不必要的繁琐计算，运算过程及最终结果都需要对数据进行修约。在取有效数字时一般会遵循四舍六入的数值修约规则。当多余尾数（要处理的那个数字）≤ 4时舍去，尾数≥ 6时进位。若尾数正好是5时分两种情况：若5后数字不为0，一律进位，如0.1067534保留4位有效数字，应该记为0.1068；若5后无数或为0，则分为两种情况，5前是奇数则将5进位，5前是偶数则把5舍弃，称为“奇进偶舍”规则。如将下列数字修约到4位有效数字：15.0150 → 15.02，15.025 → 15.02^[6]。

运算

• 在加减法运算中，结果以绝对误差最大的数为准，即以小数点后位数最少的数为准，确定有效数字中小数点后的位数。也就是说最后结果与小数位数最少的数据小数位数相同^[6]。

例如：2643.0 + 987.7 + 4.187 + 0.2354 = 3635.1.

• 乘除运算中，结果的有效数字位数与有效数字位数最少的数据相同^[6]。

例如：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L.

• 对数的有效数字位数为小数点后数字的个数。而首数（整数部分）是真数的指数大小的反映，故不能作为有效数字。^[6]

例如：pH = 10.28，[H⁺]=5.2×10^-11.

• 取指数，按照小数点后的位数来确定有效数字的个数（个数等于位数）；

• 科学常数和整数可以取任意位有效数字。

近似值

令${\displaystyle x}$是某个数量的真值，${\displaystyle {\tilde {x}}}$是${\displaystyle x}$的近似值；${\displaystyle x}$与${\displaystyle {\tilde {x}}}$都用十进制表示。有效数字就是指${\displaystyle x}$与${\displaystyle {\tilde {x}}}$的多少位数字是一致的。确切地说，${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则从${\displaystyle x}$的左端非零数字所在位起，绝对误差|${\displaystyle {\tilde {x}}-x}$|的前m个十进制数位为0，随后一位数字取值从0到5. 例如：

• 5.1对真值5具有1位有效数字：|5.1-5|=0.1
• 0.51对真值0.5具有1位，而不是2位有效数字：|0.51-0.5|=0.01
• 4.995对真值5具有3位有效数字:|4.995-5|=0.005
• 4.994对真值5具有2位有效数字:|4.994-5|=0.006
• 1.4对真值2具有0位有效数字：|1.4-2|=0.6

如果${\displaystyle x}$用科学记数法表示为 ${\displaystyle x=\Box .\Box \Box \ldots \Box \times 10^{n}}$， 则${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，如果${\displaystyle |x-{\tilde {x}}|\leq 5\times 10^{n-m}}$。 ${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则二者相对误差不超过${\displaystyle 5\times 10^{-m}}$。