利萨茹曲线

数学上，利萨茹（Lissajous）曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇（Bowditch）曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

示波器上的利萨茹图形

三维利萨茹图形

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}}$

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}$，${\displaystyle n\geq 1\,}$。

${\displaystyle n}$称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则${\displaystyle n={\frac {q}{p}}\,}$，参数方程可以写作：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(p\theta )\\y(\theta )=b\sin(q\theta +\phi )\\0\leq \theta \leq 2\pi \end{cases}}}$，

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2p}}}$。

性质

• 若${\displaystyle n}$为无理数，曲线在长方形${\displaystyle [-a,a]\times [-b,b]}$中稠密。
• 若${\displaystyle n}$为有理数，
  • 曲线是${\displaystyle 2q}$次代数曲线若${\displaystyle \phi \in \left(0,{\frac {\pi }{2p}}\right]}$对奇数${\displaystyle p}$，或${\displaystyle \phi \in \left[0,{\frac {\pi }{2p}}\right)}$对偶数${\displaystyle p}$。
  • 曲线是${\displaystyle q}$次代数曲线的一部份若${\displaystyle \phi =0\,}$对奇数${\displaystyle p}$，或${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2p}}}$对偶数${\displaystyle p}$。

• 若${\displaystyle n}$为偶数而${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$，或若${\displaystyle n}$为奇数而${\displaystyle \phi =0\,}$，则曲线是第${\displaystyle n}$个切比雪夫多项式${\displaystyle T_{n}}$的曲线的一部份。

特别情况

• 若${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle n=1}$，则曲线是椭圆。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$，则这椭圆其实是圆。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$，则这椭圆其实是线段。
• 若${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle n=q=2}$（所以${\displaystyle p=1}$），则曲线是besace。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$，则这besace是抛物线一部份。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中${\displaystyle \phi =0}$，${\displaystyle a=b}$, ${\displaystyle p}$是奇数，${\displaystyle q}$是偶数，${\displaystyle |p-q|=1}$。

• 
  p = 1, q = 2
• 
  p = 3, q = 2
• 
  p = 3, q = 4
• 
  p = 5, q = 4
• 
  p = 5, q = 6
• 
  p = 9, q = 8
• 

频率比1:n和n:1的情况

Δφ	1:1	1:2	1:3		2:1
0
¹/₄·π
¹/₂·π
³/₄·π
1·π
1¹/₄·π
1¹/₂·π
1³/₄·π
2·π

频率比n₁:n₂的情况

Δφ	2:3		Δφ	3:4
0			0
¹/₂·¹/₄·π			¹/₃·¹/₄·π
¹/₂·¹/₂·π			¹/₃·¹/₂·π
¹/₂·³/₄·π			¹/₃·³/₄·π
¹/₂·π			¹/₃·π
5/8·π			5/12·π
³/₄·π			¹/₂·π
7/8·π			7/12·π
1·π			²/₃·π

演示

鼠标悬浮在两个数字上时，通过滚轮可以调节数字大小。

在电子学上的应用

借由使用利萨茹图形可以测量出两个信号的频率比与相位差。

外部链接

• 利萨茹曲线的Java 3D示范 （页面存档备份，存于互联网档案馆）