欠四面十二面体

欠四面十二面体（tetrahedrally diminished dodecahedron）又称四面星形化二十面体（tetrahedrally stellated icosahedron）或螺旋四面体（propello tetrahedron）^[1]是一种拓朴自身对偶的十六面体，由4个正三角形面、12个全等的四边形面、30条边和16个顶点组成。^[2]

欠四面十二面体

自身对偶形式 星形化正二十面体形式 欠缺四个顶角的正十二面体形式
类别	凸多面体
对偶多面体	欠四面十二面体（自身对偶）
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	teddoe
数学表示法
康威表示法	pT
性质
面	16
边	30
顶点	16
欧拉特征数	F=16, E=30, V=16 （χ=2）
组成与布局
面的种类	4个三角形 12个四边形
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	3.4.4.4 4.4.4
对称性
对称群	T（英语：Tetrahedral symmetry）, [3,3]+, (332), order 12
特性
凸
图像
欠四面十二面体（自身对偶） （对偶多面体） （展开图）

欠四面十二面体并非是少4个面的十二面体，其名称是来自欠缺四个顶角的正十二面体形式的欠四面十二面体，之所以称为欠四面十二面体是因为其在四个顶角处各欠缺了四面体状的结构，因此称为欠四面十二面体。

形式

欠四面十二面体有三种形式，一种是多尔曼卢克对偶构造的自身对偶形式；一种是欠缺四个顶角的正十二面体形式；还有一种是星形化的正二十面体形式。^[3]

自身对偶形式

在自身对偶形式中，欠四面十二面体是302404种自身对偶的十六面体中，1476种至少具有2阶对称性中唯一具有四面体对称性的立体。^[4]

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  自身对偶形式的欠四面十二面体
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  自身对偶形式的欠四面十二面体的3D模型
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  自身对偶形式的欠四面十二面体的展开图

欠缺四个顶角的正十二面体形式

在欠缺四个顶角的正十二面体形式中，其移除了4个正十二面体的顶角，并将相邻的五边形面切割成梯形。^[3]这种形式的欠四面十二面体有两种二面角，分别为梯形和梯形的二面角，以及梯形和三角形的二面角。其中，梯形和梯形的二面角为：^[5]

${\displaystyle \arccos {-{\frac {1}{\sqrt {5}}}}\approx 116.565051^{\circ }}$

而梯形和三角形的二面角为：

${\displaystyle \arccos {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\approx 142.622632^{\circ }}$

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  欠缺四个顶角的正十二面体
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  欠缺四个顶角的正十二面体的3D模型
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  欠缺四个顶角的正十二面体的展开图

星形化正二十面体形式

在星形化正二十面体形式中，其是32种以四面提群对称性定义的星形化正二十面体之一，并具有鸢形面。^[6]这种欠四面十二面体是五复合四面体中，少一个四面体之几何结构的星状核^[7]。在康威多面体表示法中，其可以用pT来表示，代表通过乔治·W·哈特（英语：George W. Hart）的螺旋变换（propeller operator）的正四面体。^[8]

假设中交球的半径为1，则存在一个边长比为0.849:1.057的典型形式，其鸢形面保持等腰。

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  星形化正二十面体形式
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  星形化正二十面体形式的3D模型
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  星形化正二十面体形式的展开图

性质

构造

欠四面十二面体具有手性四面体群对称性，因此其可以构造自四个面星形化的五角十二面体群对称性之扭棱四面体^[2]或构造自欠缺4个顶点的五角十二面体。

顶点座标

自身对偶形式的欠四面十二面体顶点座标为：^[9]

${\displaystyle \left(C_{1},\,\pm C_{0},\,\pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(-C_{1},\,\mp C_{0},\,\pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1,\,\pm C_{1},\,\pm C_{0}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,\,\mp C_{1},\,\pm C_{0}\right)}$

${\displaystyle \left(C_{0},\,\pm 1,\,\pm C_{1}\right)}$

${\displaystyle \left(-C_{0},\,\mp 1,\,\pm C_{1}\right)}$

${\displaystyle \left(C_{2},\,\mp C_{2},\,\pm C_{2}\right)}$

${\displaystyle \left(-C_{2},\,\pm C_{2},\,\pm C_{2}\right)}$

其中：

${\displaystyle C_{0}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(11+3{\sqrt {69}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{4\left(3{\sqrt {69}}-11\right)}}-1}{3}}}$

≈0.139680581996

${\displaystyle C_{1}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(25+3{\sqrt {69}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{4\left(25-3{\sqrt {69}}\right)}}-5}{3}}}$

≈0.509755332493

${\displaystyle C_{2}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(371+33{\sqrt {69}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{4\left(371-33{\sqrt {69}}\right)}}-1}{33}}}$

≈0.606267870861

相关几何体

欠四面十二面体是双曲均匀堆砌体部分欠缺二十面体堆砌（英语：Partially diminished icosahedral honeycomb）（施莱夫利符号：pd{3,5,3}）的顶点图^[10]，每个顶点都是12个五角反棱柱和4个正十二面体的公共顶点。^[11]

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  最为顶点图以施莱格尔投影呈现的欠四面十二面体
• 
  部分欠缺二十面体堆砌（英语：Partially diminished icosahedral honeycomb）

参见

• 四阶十二面体