次调和函数

次调和函数（subharmonic）是数学上对函数的一种分类，常用在偏微分方程、复变分析及位势论中。

次调和函数类似单变数的凸函数。若一凸函数和一线段相交于二点，在这二点内凸函数的图形会在线段的下方。相似的，若在次调和函数在球边界上的值不大于调和函数的值，则若在次调和函数在球内的值也不大于调和函数的值。

若将以上的“不大于”改为“不小于”，就可以定义过调和函数（Superharmonic）。过调和函数其实就是次调和函数的加法逆元，因此有关次调和函数的性质都可以转换为过调和函数的对应性质。

正式定义

次调和函数的正式定义可以表示如下。令${\displaystyle G}$是欧几里得空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的子集，且令 $${\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$$ 为上半连续函数。则${\displaystyle \varphi }$称为次调和函数，若针对所有${\displaystyle G}$内，球心为${\displaystyle x}$，半径为${\displaystyle r}$的闭球${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$，以及闭球${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$内的实值连续函数${\displaystyle h}$，在${\displaystyle B(x,r)}$上为调和函数，且在${\displaystyle B(x,r)}$边界${\displaystyle \partial B(x,r)}$上的每一个${\displaystyle y}$，都可以使${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$成立。也就可以得到${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$在所有${\displaystyle y\in B(x,r)}$都成立。

若函数${\displaystyle u}$为次调和函数，则函数${\displaystyle -u}$即为过调和函数。

性质

• 一函数为调和函数当且仅当其为次调和函数且是过调和函数。
• 若${\displaystyle \phi }$在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$内的开集${\displaystyle G}$中为C²（二次连续可微），则${\displaystyle \phi }$为次调和函数当且仅当在${\displaystyle G}$内${\displaystyle \Delta \phi \geq 0}$成立，其中${\displaystyle \Delta }$为拉普拉斯算子。
• 次调和函数的最大值在其内部的条件是该函数为常数，此为最大值定理（英语：maximum principle），王过，次调和函数的最小值可以在其内部。
• 次调和函数形成凸锥，也就是说，次调和函数正系数的线性组合，仍为次调和函数。
• 二个次调和函数的逐点最大值（英语：pointwise maximum）也是次调和函数。
• 次调和函数的递减级数的极限也是次调和函数。
• 在一般的拓朴下，次调和函数不一定是连续的。不过可以引进fine topology（英语：fine topology (potential theory)）使其连续。

相关条目

• 多重次调和函数（英语：Plurisubharmonic function）：在多复变变数函数（英语：Function of several complex variables）下的推广。

脚注

参考资料

• Conway, John B. Functions of one complex variable. New York: Springer-Verlag. 1978. ISBN 0-387-90328-3.

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