正五边形

正五边形是指五个边等长且五个角等角的五边形，其内角为108度，是一种正多边形，在施莱夫利符号中可以用${\displaystyle \left\{5\right\}}$来表示。

正五边形
一个正五边形
类型	正多边形
对偶	正五边形（本身）
边	5
顶点	5
对角线	5
施莱夫利符号	{5}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	peg
对称群	二面体群 (D5), order 2×5
面积	${\displaystyle {\frac {5}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{5}}}$ ${\displaystyle \approx 1.720477400589a^{2}}$
内角（度）	108°
内角和	540°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形

边与角

正五边形的中心角为72度，其具有五个对称轴，其旋转对称性有5个阶（72°、144°、216° 和 288°）。

高${\displaystyle ={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot }$边长${\displaystyle \approx 1.539\cdot }$边长

宽${\displaystyle ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot }$边长${\displaystyle \approx 1.618\cdot }$边长

对角线长${\displaystyle =R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,}$

其中${\displaystyle R}$为外接圆半径。

边长为${\displaystyle t}$的正凸五边形面积可以将之分割成5个等腰三角形计算：

${\displaystyle A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.}$

正五边形不能镶嵌平面，因为其内角是108°，不能整除360°。2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形镶嵌平面情况，其中不包括正五边形。^[1]。

面积公式推导

正多边形的面积公式为：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

其中，${\displaystyle P}$是周长、${\displaystyle r}$是边心距。正五边形的${\displaystyle P}$和${\displaystyle r}$可由三角函数计算：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times 5t\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}$

其中，${\displaystyle t}$是正五边形的边长。

内切圆半径

正五边形是一个圆外切多边形，因此有内切圆。其内切圆半径与边心距相同，并且可以尤其边长来决定。

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan({\frac {\pi }{5}})}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t}$

其中，${\displaystyle r}$为内切圆半径与边心距相同、t为正五边形边长。

构造

里士满提出了一个构造正五边形的方法^[2]，并且在克伦威尔的《多面体》中被进一步讨论。^[3]。

右上的图显示了里士满绘制正五边形的方法。先利用单位圆决定五边形的半径。${\displaystyle C}$为单位圆圆心，${\displaystyle M}$是圆${\displaystyle C}$半径的中点。${\displaystyle D}$是位于垂直于${\displaystyle MC}$的另外一条半径的圆周上。作${\displaystyle \angle CMD}$的角平分线，令${\displaystyle Q}$为${\displaystyle \angle CMD}$的角平分线与${\displaystyle CD}$的交点。作过${\displaystyle Q}$平行于${\displaystyle MC}$的直线，令之与圆${\displaystyle C}$相交的交点为${\displaystyle P}$，则${\displaystyle DP}$为正五边形的边长。

这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形${\displaystyle DCM}$和${\displaystyle QCM}$。利用勾股定理，较大的三角形斜边为${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle }$。小三角形其中一股h可由半角公式求得：

${\displaystyle \tan({\frac {\phi }{2}})={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

其中，角${\displaystyle \phi }$可由大三角形求得，其值为：

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

由此可得到在下图正五边形的边长的一些相关值。右侧三角形的边长${\displaystyle a}$可借由再带一次勾股定理得：

${\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}$

欲求出五边形边长${\displaystyle s}$可透过左侧的三角形，由勾股定理得：

${\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }$

${\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}$

使用圆规与直尺建构出正五边形。

五边形边长${\displaystyle s}$为：

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}$

得到了正确的结果^[4]因此此种构造正五边形的方法是有效的。

约西元前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

物理方法

打一个反手结的长条纸张

正五边形可以借由尝试在一张长条纸张上打一个反手结，并将多出来的部分向后折来构造。这种折法被用在折纸星星上。