正定函数 (实值连续可微函数)

一个实值、连续可微的函数f在原点附近的区域D为正定函数，其条件是

• ${\displaystyle f(0)=0}$
• ${\displaystyle f(x)>0}$ 对于所有不为零的${\displaystyle x\in D}$^[1][2]

若上式中的不等式改为小于，则函数f为负定函数。若以上不等式改为 ${\displaystyle \geq }$ 或 ${\displaystyle \leq }$，则函数f为半正定函数或半负定函数。

在物理学中，有时会省略${\displaystyle f(0)=0}$的条件（例如Corney和Olsen^[3]）。

f在原点附近的区域D为正定函数，f在此区域原点以外的位置均大于0，只有原点会为0，因此在原点位置有区部最小值，此一特性会用在控制系统的稳定性分析里。

例子

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$满足${\displaystyle f(0)=0}$，其他位置的${\displaystyle f(x)}$均大于0的条件，因此即为正定函数。

${\displaystyle f(x)=|x|}$虽然也满足${\displaystyle f(0)=0}$，其他位置的${\displaystyle f(x)}$均大于0的条件，但在${\displaystyle x=0}$的位置不可微，因此不是正定函数。

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