正规扩张

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个有限扩张L/K是正规扩张当且仅当扩域L是多项式环K[X]中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

定义

正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

1. L是多项式环K[X]中的某一族多项式的分裂域。
2. 设K^alg是一个包含了L的K的代数闭包。对于L在K^alg上的每一个嵌入σ，只要它限制在K上的部分是平凡的（即为恒等映射：σ(x) = x），那么就有σ(L) = L。换句话说，L在K^alg上的每一个K-嵌入σ都是一个L上的K-自同构。
3. 任意一个K[X]上的不可约多项式，只要它在L中有一个根，那么就可以在L[X]分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在L中）。

例子

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一个正规扩张，因为它是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的多项式${\displaystyle x^{2}-2}$的分裂域。然而，${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$并不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一个正规扩张，因为${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的不可约多项式${\displaystyle x^{3}-2}$有一个根：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$在${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$里面，但它的另外两个根：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}$和${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}$都是复数，不在${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$里面。只有在加入了三次单位根：${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$后的扩域${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}$才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的正规扩张。设域${\displaystyle \mathbb {A} }$是由所有复代数数生成的扩域，则${\displaystyle \mathbb {A} }$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一个代数闭包，并且${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$在${\displaystyle \mathbb {A} }$里面。另一方面，

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}}$

并且，如果记${\displaystyle \zeta ={\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}$是${\displaystyle x^{3}-2}$的复根之一，那么映射：

${\displaystyle {\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}}$

是${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$在${\displaystyle \mathbb {A} }$上的一个嵌入，并且它限制在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的部分是平凡的（将${\displaystyle \mathbb {Q} }$中元素映射到自己）。但是σ并不是${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$上的自同构。

更一般地，对每一个素数p，域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$都是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一个正规扩张，扩张的次数是p(p - 1)。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的多项式${\displaystyle x^{p}-2}$的分裂域。其中的${\displaystyle \zeta _{p}}$是任意一个复数p次单位根。

性质

设有域扩张L/K，那么：

• 如果L是K的正规扩张，并且F是一个子扩张（也就是说有扩张K⊂F⊂L）那么L也是F的正规扩张。
• 如果L的子域E和F都是K的正规扩张，那么两者的复合扩张EF（指L的子域中同时包含E和F的最小者）以及两者的交E∩F也都是K的正规扩张。

正规闭包

设有域扩张L/K，那么总存在域扩张M/L，使得M/K是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张，那么总存在N/L的子扩张M'/L，使得M'同构于M。这个唯一的“最小”正规扩张M/L称为域扩张L/K的正规闭包。

如果L/K是有限扩张，那么它的正规闭包M/L也是有限扩张（因此M/K也是有限扩张）。

参见

• 伽罗瓦扩张

参考来源

• Lang, Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Jacobson, Nathan, Basic Algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 0-716-71933-9