泊松过程

Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松過程、布瓦松過程、布阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 这个过程本身是在几种情况下，包括放射性衰变、电话通话到达率和精算学的实验中，被独立地重复发现的。^[1][2]

泊松过程

概率密度函数
期望值	${\displaystyle a_{0,t}=\int _{0}^{t}\lambda (\alpha )d\alpha }$
方差	${\displaystyle a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}-(a_{0,t})^{2}=a_{0,t}}$ since ${\displaystyle R_{x}(t_{1},t_{2})=a_{0,min(t_{1},t_{2})}+a_{0,t_{1}}a_{0,t_{2}}}$ where for ${\displaystyle E\{X^{2}\}=R_{x}(t,t)=a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}}$

开始的泊松过程视觉化描述

我们说一个 随机过程 ${\displaystyle N(t)}$是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：

• 在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。

• 在区间${\displaystyle [t,t+\tau ]}$内发生的事件的数目的机率分布为：

${\displaystyle P[(N(t+\tau )-N(t))=k]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots }$

其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。所以，如果给定时间区间${\displaystyle [t,t+\tau ]}$，则时间区间之中事件发生的数目随机变数${\displaystyle N(t+\tau )-N(t)}$呈现泊松分布，其参数为${\displaystyle \lambda \tau }$。

更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得

• 在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。

• 在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。）

泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。

性质

考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为${\displaystyle T_{1}}$。此外，对于${\displaystyle n>1}$，以${\displaystyle T_{n}}$记在第${\displaystyle n-1}$个事件与第${\displaystyle n}$个事件之间用去的时间。序列${\displaystyle \{T_{n},n=1,2,...\}}$称为到达间隔时间列。

• ${\displaystyle T_{n}(n=1,2,...)}$是独立同分布的指数随机变量，具有均值${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$。

参见

• 泊松分布
• 马尔科夫链