包立方程式

包立方程式或称薛丁格-包立方程式，为描述带有自旋1/2的粒子在与电磁场交互作用下的修正方程式（自旋1/2粒子例如电子）。在此之前，用以描述粒子行为的薛丁格方程式则未考虑到粒子自旋的性质。其为狄拉克方程式在非相对论极限下的特例，应用在粒子速度慢到相对论效应可以忽略的场合。

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。

包立方程式是由沃尔夫冈·包立于1927年所建构。

方程式

一自旋粒子具有质量m、电荷q，于外加电磁场中运动；外加电磁场可以纯量势ϕ、向量势A = (A_x, A_y, A_z)来描述。包立方程式可描述外加电磁场与自旋交互作用的影响：

包立方程式 （广义形式）

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

其中

${\displaystyle \mathbf {p} }$为动量算符（p = −iħ∇，∇为梯度算符），

${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$为包立矩阵，

${\displaystyle |\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}}$为包立旋量。

两个旋量分量都满足薛丁格方程式

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$，

这表示系统是有额外但简并的的自由度。

另可看出包立方程式的哈密顿算符为：

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi }$

因包立矩阵的存在，此哈密顿算符为2 × 2矩阵算符。包立方程式的哈密顿算符形似于带电粒子在电磁场中的古典哈密顿算符，但后者没有考虑到自旋。

包立矩阵可以从动能项中移出，只要使用包立矩阵的关系式：

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

将p = −iħ∇代入，可得到^[1]

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi }$

其中B = ∇ × A，即磁场。

与斯特恩-革拉赫实验的关系

包立方程式可分拆为两项：

包立方程式 （磁场B）

${\displaystyle \underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}}$

同上述，

${\displaystyle |\psi _{\pm }\rangle }$为包立旋量，

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$为包立矩阵所构成的包立向量，

B为外加磁场，与磁向量势A的关系为：${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$，

而

${\displaystyle {\hat {1}}}$为二阶单位矩阵${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$。

左半部为薛丁格方程式（上式Schrödinger equation），右半部斯特恩-革拉赫项（上式Stern-Gerlach term）。如此可解释带有一个价电子的原子何以得到得到自旋取向，例如流过不均匀磁场的银原子。相似地，比如在反常塞曼效应，这一项造成磁场中的谱线（对应到能阶）分裂。

与薛丁格方程式、狄拉克方程式的关系

包立方程式为非相对论性的量子力学方程式，但其能描述自旋相关的行为，因此其具有薛丁格方程式与狄拉克方程式的中介角色：

• 常见的薛丁格方程式（作用于复纯量波动方程式），非相对论性，也无法描述自旋。
• 狄拉克方程式（作用于复数四分量旋量），完整地考虑了相对论效应，可描述自旋。

注意到：若磁向量势A为零，包立方程式则约化为一个在纯电势ϕ中运动的带电粒子之薛丁格方程式：

${\displaystyle \left[{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}}$

但因为包立矩阵的存在，此方程式是作用在二分量旋量上的。因此仅当磁场存在时，粒子自旋才会对粒子的运动发挥影响。

由狄拉克方程式推导包立方程式

自狄拉克方程式开始，设定弱的电磁场交互作用：

${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=c\left({\begin{array}{c}{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{2}\\{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{1}\end{array}}\right)+q\phi \left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)+mc^{2}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\-{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)}$

其中${\displaystyle {\vec {\pi }}={\vec {p}}-q{\vec {A}}}$

利用到如下近似：

• 透过如下拟设对方程式做简化

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=e^{-i{\frac {mc^{2}t}{\hbar }}}\left({\begin{array}{c}{\vec {{\tilde {\varphi }}_{1}}}\\{\vec {{\tilde {\varphi }}_{2}}}\end{array}}\right)}$

• 透过缓慢时间相依性的前提去除掉静能量

${\displaystyle \partial _{t}{\vec {\varphi }}_{i}\ll {\frac {mc^{2}}{\hbar }}{\vec {\varphi }}_{i}}$

• 与电场势有弱的耦合

${\displaystyle q\phi \ll mc^{2}}$