波利尼亚克猜想

在数论中，波林雅克猜想是由阿尔方·德·波利尼亚克于1849年提出的，该猜想的内容为：^[1] :对于任何正的偶数n，存在无穷多个大小为n的质数间隙。换句话说：存在无穷多对相邻的质数，它们的差为n。^[2]

尽管该猜想至今未能对任何给定的n值进行证明或反驳，但在2013年，张益唐取得了一个重要的突破，他证明了对某些n值小于7000万，存在无穷多个质数间隙。^[3][4]同年晚些时候，詹姆斯·梅纳德宣布了一个相关的突破，证明了存在无穷多个质数间隙，且这些间隙的大小小于或等于600。^[5]截至2014年4月14日，也就是张益唐宣布后的一年，根据Polymath项目维基（英语：Polymath Project），n已经被缩小到246。^[6]此外，假设埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想（英语：Elliott–Halberstam conjecture）及其广义形式成立，Polymath项目维基指出，n已经缩小到12和6，分别对应于两种情况。^[7]

当n=2时，这就是孪生素数猜想。当n=4时，则表示存在无穷多个表兄弟素数（p，p+4）。当n=6时，则表示存在无穷多个六素数（p，p+6），且在p与p+6之间没有质数。

迪克森猜想将波林雅克猜想推广到涵盖所有质数星座。

猜想的密度

设对于偶数n，${\displaystyle \pi _{n}(x)}$为小于x的大小为n的质数间隙的数量。

第一个哈迪–李特伍德猜想指出，该质数间隙的渐近密度具有如下形式：

${\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

其中C_n是n的函数，且${\displaystyle \sim }$表示当x趋近无穷大时，两个表达式的比值趋近于1。^[8]

C₂是孪生质数常数：

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots }$

该乘积对所有质数p≥3进行。

C_n是C₂乘以一个与n的奇质因数q相关的数字：

${\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.}$

例如，C₄ = C₂，而C₆ = 2C₂。双质数的猜测密度与表亲质数相同，且是性感质数的一半。

请注意，n的每个奇质因数q都会将猜测的密度与双质数相比提高${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$倍。这里有一个启发式推理（英语：Heuristic_argument）。该推理依赖于一些未经证明的假设，因此结论仍然是一个猜想。假设一个随机奇质数q将会分别整除a或a+2，其中a和a+2是随机的"潜在"双质数对，那么该质数q整除a或a+2的机会是${\displaystyle {\tfrac {2}{q}}}$，因为q会整除从a到a+q−1的其中一个q。现在假设q整除n并考虑一个潜在的质数对（a，a+n）。只有当q整除a+n时，q才整除a，而这种情况的机会是${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$。该质数对（a，a+n）无因数q的机会与（a，a+2）无因数q的机会相比，将会变为${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}$，并且这比值为${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$，这转化为猜测的质数密度。对于n=6的情况，该推理简化为：如果 a 是一个随机数，那么 3 有 2/3 的机会除以 a 或 a + 2，但只有 1/3 的机会除以 a 和 a + 6，因此后一对被推测为素数的可能性是素数的两倍。