波动力学

波动力学是量子力学的一种表述形式，主要是以波函数及其模数的平方去表示物体的状态及该状态出现的机率。对于波函数随时间的变化，是遵从薛丁格方程式。

德布罗意与相位波

1923年，德布罗意参考爱因斯坦的狭义相对论发现，如果有：

${\displaystyle hf_{o}=mc^{2}\,}$

其中 ${\displaystyle h\,}$ 是普朗克常数、${\displaystyle f_{o}\,}$ 是粒子的内部运动的频率、${\displaystyle m\,}$ 是粒子的静止质量、而${\displaystyle c\,}$ 是光速；那么根据狭义相对论的质量及时间随运动的变化，我们可得到以下两个关系：

${\displaystyle f_{1}={\frac {mc^{2}}{h{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}={\frac {f_{o}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,}$

${\displaystyle f_{2}=f_{o}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,}$

所以${\displaystyle f_{1}\neq f_{2}\,}$。

但以上两个频率的差别正是德布罗意的出发点。他立刻引入一个频率为 ${\displaystyle f\,}$、相速度为 ${\displaystyle u\,}$ 的假想波，并证明如果此波与和运动粒子内部的振动 ${\displaystyle \sin {2\pi f_{2}t}\,}$ 同相，“这种相的和谐将保持下去”。并由狭义相对论的能-动关系，我们可知：

${\displaystyle p^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}=-m^{2}c^{2}\,}$

而对于这个假想波的波数 ${\displaystyle k\,}$ 及角频率 ${\displaystyle \omega \,}$ 亦组成一个不变量：

${\displaystyle k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\,}$

所以德布罗意假设：

${\displaystyle {\begin{cases}p\propto k\\E\propto \omega \end{cases}}\,}$

${\displaystyle {\begin{cases}p=\hbar k\\E=\hbar \omega \end{cases}}\,}$

${\displaystyle {\begin{cases}\lambda ={\dfrac {h}{p}}\\E=hf\end{cases}}\,}$

与爱因斯坦的光子的能量及动量方程 ${\displaystyle E=hf\,}$ 及 ${\displaystyle p={\dfrac {E}{c}}={\dfrac {h}{\lambda }}\,}$ 一样，但内部的意义不同：德布罗意的公式包括了所有粒子。

薛丁格与物质波

波恩与波函数的解释