海森堡模型

海森堡模型（Heisenberg model）是一个自旋系统的统计力学模型，常被用来研究磁性系统和强关联电子系统中的相变与临界点的现象（临界现象）。在量子力学发展初期，海森堡首先提出自旋与自旋之间可能存在交互作用，其数学形式是两个自旋角动量的内积 ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$^[1]。这一个“电子自旋之间的交换作用是铁磁性起源”的物理图像，被视为量子磁学的开山之作，而海森堡模型的哈密顿算符正是这些内积的总和。

${\displaystyle H=\sum _{ij}J_{ij}{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$

其中自旋角动量的${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$三个分量之间的互易关系为 ${\displaystyle [S_{i}^{\alpha },S_{j}^{\beta }]=i\hbar \delta _{ij}\epsilon _{\alpha \beta \gamma }S_{j}^{\gamma }}$，${\displaystyle \hbar }$为普朗克常数除以 ${\displaystyle 2\pi }$，为了方便以下讨论假设 ${\displaystyle \hbar =1}$。如果只考虑最近邻的自旋才存在交互作用，且交互作用的强度${\displaystyle J_{ij}}$都均等，则哈密顿算符简化为

${\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)}$

可定义上升算符 ${\displaystyle S^{+}}$和下降算符 ${\displaystyle S^{-}}$，

${\displaystyle S^{\pm }=S^{x}\pm iS^{y}}$

则哈密顿算符可写成

${\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+}\right)+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right]}$

相较于易辛模型，海森堡模型除了考虑自旋 ${\displaystyle z}$轴方向上的耦合以外，还考虑了 ${\displaystyle x}$和 ${\displaystyle y}$轴方向上的耦合，由于 ${\displaystyle [S_{i}^{\alpha },S_{j}^{\beta }]=i\delta _{ij}\epsilon _{\alpha \beta \gamma }S_{j}^{\gamma }}$，这使研究海森堡模型必须考虑量子力学。

一维海森堡模型

考虑 ${\displaystyle N}$个自旋排成一列，耦合强度 ${\displaystyle J\equiv 1}$，一维海森堡模型的哈密顿算符就写成

${\displaystyle H=\sum _{j=1}^{N}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}=\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{j}^{+}S_{j+1}^{-}+S_{j+1}^{+}S_{j}^{-}\right)+S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}\right]}$

如果是自旋-1/2的一维海森堡模型，在热力学极限下(${\displaystyle N\rightarrow \infty }$)，基态能量可利用贝特猜想解（英语：Bethe ansatz）方法求得 ${\displaystyle e_{0}=-\ln 2+1/4}$。^[2]这个方法是开创了量子可积系统（Quantum Integrable Systems）领域的鼻祖。贝特（Bethe）在这里发展的数学技巧后来被广泛应用于解决许多其他的低维量子多体模型。对于凝态物理研究者而言，这篇论文是从“近似理论”（例如：平均场论）跨越到“精确解”的分水岭。导致诺贝尔物理奖得主杨振宁和他的弟弟杨振平对一维海森堡模型及其推广（XXZ 模型）有重要的严格解工作，发表在美国物理学会的期刊《物理评论》上。这是一系列非常著名的论文，发表于 1966 年，共有三篇，统称为杨氏兄弟在量子自旋链上的经典工作。第一篇：证明贝特假说的有效性^[3]。这篇论文严格证明了对于有限长度的各向异性海森堡链（XXZ 模型），贝特猜想解（英语：Bethe ansatz）所给出的波函数确实是哈密顿量的本征态。这是对贝特原始工作的重要数学补完与严格化。第二篇：基态能量性质^[4]。在无限长链的热力学极限下，计算了基态能量，并分析了其解析性质。第三篇：应用与激发态^[5]。探讨了模型的物理应用，包括磁化强度曲线与磁化率等性质。

利布-舒尔茨-马蒂斯定理

利布-舒尔茨-马蒂斯（Lieb-Schultz-Mattis）定理，简称：LSM 定理^[6]，这个定理证明了自旋半奇整数的一维反铁磁海森堡模型在具有平移对称性和自旋的旋转对称性下，必定存在一个激发态，此激发态与基态同一个磁化强度但晶格动量相差 ${\displaystyle \pi }$，在力学极限下和基态能量简并。也就是说，自旋半奇整数的一维海森堡模型能量谱是无能隙的。

LSM 定理由日本学者押川正毅推广，从最初仅适用于一维半整数自旋链，扩展到任意维度与任意守恒粒子数的系统^[7]。

霍尔丹的猜想

根据 LSM 定理，自旋半奇整数（${\displaystyle S=1/2,3/2,5/2,}$...）的反铁磁一维海森堡模型的基态没有自旋能隙。然而，自旋整数（${\displaystyle S=1,2,3,}$...）的反铁磁一维海森堡模型并不在 LSM 定理的框架内，因此可能具有截然不同的性质。诺贝尔物理奖得主邓肯·霍尔丹提出自旋整数的反铁磁一维海森堡模型的基态都存在自旋能隙，后来被称为“霍尔丹的猜想”，而此能隙被称为“霍尔丹能隙”。“霍尔丹的猜想”已经经过无数验证，包跨数值计算和实验上在整数自旋炼的材料中测量到“霍尔丹能隙”。进一步引发物理学家研究这个能隙的来源与拓朴性质有关，是理解目前物质的拓朴相与拓朴相变关键的里程碑。邓肯·霍尔丹因“在物质的拓朴相与拓朴相变领域的理论性发现”而与戴维·索利斯以及约翰·科斯特利茨共同获得了2016年度诺贝尔物理学奖。

奇数（symmetry protected topological）和偶数（trivial）。

二维海森堡模型

Kagome晶格中的自旋液体。

各向异性

在磁性材料中，磁矩（或自旋）之间的交互作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，还可能出现一些各向异性（anisotropy）。当材料中有较强的自旋-轨道耦合时，常造成自旋 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$轴上的耦合强度不同，此时哈密顿算符改写为

${\displaystyle H=J_{x}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{x}S_{j}^{x}+J_{y}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{y}S_{j}^{y}+J_{z}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{z}S_{j}^{z}}$

被广泛研究的海森堡模型类型的模型是XXZ模型，也就是 ${\displaystyle J_{x}=J_{y}\neq J_{z}}$ 的情形，一维自旋-1/2的XXZ模型可利用贝特拟设（英语：Bethe ansatz）严格求解。

当磁矩（或自旋）大于1/2，真实材料中通常还可能出现另一种形式的各向异性，由晶格场造成的单离子各向异性，其数学形式为 ${\displaystyle D(S^{z})^{2}+E[(S^{x})^{2}-(S^{y})^{2}]}$，其中${\displaystyle D}$项和${\displaystyle E}$项分别称为单轴的和菱形的单离子各向异性。因此在磁性材料中常被用来讨论的理论模型写成XXZ模型加上单离子各向异性，

${\displaystyle H=\sum _{\langle i,j\rangle }(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+\Delta S_{i}^{z}S_{j}^{z})+D\sum _{j}(S_{j}^{z})^{2}+E\sum _{j}[(S_{j}^{x})^{2}-(S_{j}^{y})^{2}]}$

当 ${\displaystyle \Delta =1}$ 且 ${\displaystyle D=E=0}$，模型回归到各向同性的海森堡模型。

相关条目

• 易辛模型
• O(N)模型