牛顿-欧拉方程式

经典力学里的牛顿-欧拉方程式是描述刚体的移动动力学以及旋转动力学^{[1][2][3][4][5]}。

传统上牛顿-欧拉方程式会和两个有关刚体的欧拉运动定律一起出现，以矩阵和行向量的形式，表示为有六个元素的单一方程。这些定律和刚体质心的运动，以及作用在刚体上力和力矩有关。

质心框架

考虑一坐标框架，其原点和物体的质心重合，而力矩作用在质心上，此座标也是惯性参考系，力和力矩和其物体运动的关系如下：

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

其中

F是作用在质心的力

m是物体质量

I₃是3×3单位矩阵

a_cm是质心的加速度

v_cm是质心的速度

τ是作用在质心的转矩

I_cm是相对质心的转动惯量

ω是物体的角速度

α是物体的角加速度

任意参考座标

考虑以固定在物体上的P点为原点的座标系，且P不和质心重合，其形式会比较复杂：

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

其中c是从P到质心的向量，以随体系（body-fixed frame）表示 而

${\displaystyle [\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)}$

是反对称的叉积矩阵。

等式的左边包括外力的和，以及相对P点外部力矩的和，可以组成旋量理论中的Wrench（英语：Wrench (screw theory)）。

惯性项包括在“空间惯性”矩阵中

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}$

其惯性力包括在以下项里^[6]：

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}$

若质心和座标系的原点不重合时，平移加速度和角加速度（a和α）会耦合，每一个都会有力和力矩的成份。

应用

牛顿-欧拉方程式是更复杂多体公式（screw theory）的基础，描述用接头和其他限制条件所组合刚体系统的动力学。多体问题可以用多种数值演算法求解^[2][6][7]。

相关条目

• 刚体的欧拉运动定律
• 欧拉角
• 逆动力学（英语：Inverse dynamics）
• 离心力