猜均值的2/3

在赛局理论中，“猜均值的2/3”是一个玩家们同时选择一个在0到100之间闭区间实数的赛局，而选择数字最接近所有玩家选择数字算术平均数2/3的玩家则获胜。^[1]

历史

1983年《赛局与策略》杂志中游戏决胜赛局回应分布。

阿兰·莱杜（法语：Alain Ledoux）是“猜均值的2/3”游戏的创始人。在1981年时，莱杜利用此赛局作为他在法文杂志《赛局与策略》（法语：Jeux et Stratégie）的决胜赛局：他询问了在之前谜题中获得相同分数的4000名读者，使他们回答1到1,000,000,000的整数， 而选择数字最接近所有参与者选择数字的算术平均数2/3的参与者则获胜。^[2]萝丝玛丽·内格尔（德语：Rosemarie Nagel）在1995年说明此类猜测游戏赛局的潜力：揭晓参与者的“推理深度”。^[3]

均衡分析

在此赛局中，并不存在绝对的优势策略，但有许多强的劣势策略。 此赛局存有纯策略的纳许平衡。此平衡可以借由弱劣势策略的迭代消除寻获。^[4]

直觉地，猜任何大于你预期其他人猜测值平均值2/3的数不能达到纳许平衡。而最高可能的平均值之2/3在所有人猜100时发生，该值为66+2/3。因此，猜测任何高于66+2/3的数字乃是绝对劣势策略，因此这些猜值可以被排除。当这些绝对劣势策略被所有玩家排除后，66+2/3成为新的最大可能算数平均值（在所有人选择66+2/3下发生）。因此，这时在没有玩家会猜大于66+2/3的情况下任何大于 66+2/3的2/3倍数字：44+4/9的猜测皆是弱的劣势策略。在相同人持续游玩此赛局的情况下，此流程会继续依照此逻辑进行，随步骤进展，逻辑上最大的可能答案会不断减小趋近于0，而假设所有玩家都了解此逻辑并选择0，此赛局会达到纳许平衡。^[5]在此时，所有玩家都选择了对于他们自己的“最佳回复”解。

完全理性与对理性的常识之差异

此赛局表明了一个个体的完全理性和所有玩家对于理性的常识之差异。常识代表所有人都有相同资讯，且知道其他所有人知道这资讯，而其他所有人知道其他所有人知道此资讯，如此无限类推。^[6]假设要在此赛局达到纳许平衡（也就是所有玩家选择0），则所有玩家皆须为完全理性，且理性应为常识，并且相信赛局中其他人也会依此模式做决定。^[7]

研究赛局理论的经济学家以认知层次模型（英语：k-level model）来比对理性和对于理性的常识之间的关系。认知层次模型的认知层次代表这类推理循环的进行的次数。一个认知层次模型通常预设认知层次为0的人会以“无知”的方式进行赛局参与并且在0到100的闭区间选择任何一个数字，而认知层次为1的玩家则会选择对于认知层次为0玩家做出选择的最佳回复；同理，认知层次为2的玩家则会选择对于认知层次为1玩家做出选择的最佳回复。^[8]认知层次为1的玩家会推测所有人皆以在认知层级为0的状况下参与此赛局，对应平均猜测值为50，因此他们的猜测会为33 ，也就是50的大约2/3倍。 认知层次为2的玩家会进一步推测所有人皆以在认知层级为1的状况下参与此赛局，所以他们会选择22，也就是33的2/3倍。^[9]玩家们被推测会在每一个更高的认知层次注意到每个玩家选择数字的机率分布。在此赛局中，认知层次大约要达到21才会达到纳许平衡，也就是选择0作为回复。

此猜测赛局的假设构建于三大要点^[10]：

1. 玩家认为认知层次为0的人会参与此赛局。
2. 玩家对于其他玩家的认知层次。
3. 玩家在赛局内能进行的推理循环次数。^[10]

证据表明大部分人的认知在此赛局中的认知层次为0至3^[11]，因此只要相对此认知层次数值多1的思考就能有更高的机会在此赛局获胜。因此，得知此般逻辑的玩家能调整他们的策略，也就是这些绝对理性的玩家不能在此赛局中选择0作为回答，除非他们得知其他玩家也是理性的，且他们皆有对于理性的常识。假设一位理性的玩家相信其他玩家不会依上述的推理循环猜测数字，理性上猜测一个大于0的数字是对其的最佳回复。

现实中，大部分玩家可以被视为非完全理性且不具有对其他人理性的常识。^[12]因此，他们会猜测其他人仅有有限理性，而猜测一个大于0的数字。

实验结果

此赛局常在赛局理论的课程用于展现不同人行为的异质性。^[11]在此赛局中不太可能有太多人会理性地依照纳许平衡做出回答。这是因为此赛局并没有绝对的优势策略，因此玩家必须考虑其他人的行为模式。而要达到纳许平衡，所有玩家必须假设其他所有人皆为理性并且具有对于理性的常识，然而此假设是强假设。

实验表明许多人会犯错并且没有对于理性的常识，经济系的毕业学生也不会猜测0作为回答。^[3]在一般民众进行此实验会发现赢家的猜测值通常远大于0：在丹麦报纸《政治报》（丹麦语：Politiken）线上举办的这项赛局中， 19,196人参与且奖金是5000丹麦克朗，而最终获胜值是33。^[13]

玩四次“猜均值的2/3”游戏中连续4回合平均选择数字的分布

布里特‧格罗斯科普夫（德语：Brit Grosskopf）和萝丝玛丽·内格尔（德语：Rosemarie Nagel）的调查也揭露大部分玩家不会在第一次游玩此赛局时就选择0，而是在几轮赛局后才发现0是纳许平衡点。^[14]内格尔的研究显现此赛局第一轮玩家平均选择36作为回答，这对应到推理层次的数值约为2。^[15]

马丁‧乔治‧科霍尔（德语：Martin Georg Kocher）和马提亚斯·苏特（德语：Matthias Sutter）比较个人和团体在参与此赛局时的表现。这两位学家发现个人和团体都会经历差不多的逻辑推理层次，但是团体学习的速度较快。这表示重复进行此赛局致使团体能观察其他人在之前赛局的行为并且能因此选择一个能提高胜算的数字作为回答。^[16]

派翠吉亚‧斯布里加（义大利语：Patrizia Sbriglia）的调查也显现在此赛局的未获胜玩家会尝试模仿赢家对于赛局结构的认知，同时其他玩家也会将这些模仿者的“最佳回复”而非平均程度的理性作为回答的策略 。此类行为加速此赛局达到纳许平衡。^[7]

参见

• 意外绞刑悖论