猴鞍面

数学中，猴鞍面（monkey saddle）是方程

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}}$

定义的曲面。用圆柱坐标系也可写作

${\displaystyle z=\rho ^{3}\cos(3\varphi ).}$

猴鞍面

猴鞍面属于鞍面，名称来源于这样的观察：给猴子准备的鞍需要两个凹陷来放腿，一个凹陷来放尾巴。猴鞍面的原点对应${\displaystyle z(x,\ y)}$在原点的退化临界点。猴鞍面有一个孤立的脐点，原点处的高斯曲率为零，而在所有其他点的曲率都是严格负的。 可通过复数将直角坐标与圆柱坐标联系起来：

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).}$

将圆柱方程中的3替换为任意整数${\displaystyle k\geq 1}$，就可以得到具有k凹陷的鞍面。 ^[1]

猴鞍面的另一个方向是由${\displaystyle x+y+z+xyz=0}$定义的Smelt花瓣，因此猴鞍面的z轴对应Smelt花瓣中的${\displaystyle (1,1,1)}$方向。^[2][3]

Smelt花瓣：${\displaystyle x+y+z+xzy=0}$

马鞍面

马鞍面（horse saddle）指${\displaystyle z(x,\ y)}$在x-y平面的每个方向上都有一个鞍点、局部最小值或最大值的普通鞍面。相比之下，猴鞍面在每个方向上都有静止的拐点。