环同态

在环论或抽象代数中，环同态是指两个环 ${\displaystyle R}$ 与 ${\displaystyle S}$ 之间的映射 ${\displaystyle f}$ 保持两个环的加法与乘法运算。

更加精确地，如果 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 是环，则环同态是一个函数${\displaystyle f:R\rightarrow S}$，使得：

• ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$，对于 ${\displaystyle R}$ 内的所有 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$；
• ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$，对于 ${\displaystyle R}$ 内的所有 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$；
• ${\displaystyle f(1)=1}$。

如果我们不要求环具有乘法单位元，则最后一个条件不需要。

性质

直接从这些定义，我们可以推出：

• ${\displaystyle f(0)=0}$
• ${\displaystyle f(-a)=-f(a)}$
• 如果 ${\displaystyle a}$ 在 ${\displaystyle R}$ 内具有乘法逆元，则 ${\displaystyle f(a)}$ 在 ${\displaystyle S}$ 内具有乘法逆元，且有 ${\displaystyle f(a^{-1})=(f(a))^{-1}}$。
• ${\displaystyle f}$ 的核，定义为${\displaystyle \ker(f)=\{a\ \mathrm {in} \ R:f(a)=0\}}$，是 ${\displaystyle R}$ 内的一个理想。每一个交换环 ${\displaystyle R}$ 内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。
• 环同态 ${\displaystyle f}$ 是单射，当且仅当${\displaystyle \ker(f)=\{0\}}$。
• ${\displaystyle f}$ 的像，${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$，是 ${\displaystyle S}$ 的一个子环。
• 如果 ${\displaystyle f}$ 是双射，那么它的逆映射 ${\displaystyle f^{-1}}$ 也是环同态。在这种情况下，${\displaystyle f}$ 称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。
• 如果存在一个环同态 ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$，那么 ${\displaystyle S}$ 的特征整除 ${\displaystyle R}$ 的特征。这有时候可以用来证明在一定的环 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 之间，不存在环同态 ${\displaystyle R\rightarrow S}$。
• 如果 ${\displaystyle R}$ 是一个域，则 ${\displaystyle f}$ 要么是单射，要么是零函数。（但是，如果 ${\displaystyle f}$ 保持乘法单位元，则它不能是零函数）。
• 如果 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 都是域，则 ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$ 是 ${\displaystyle S}$ 的一个子域（如果 ${\displaystyle f}$ 不是零函数）。
• 如果${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 是交换环，${\displaystyle S}$ 没有零因子，则 ${\displaystyle \ker(f)}$ 是 ${\displaystyle R}$ 的一个素理想。
• 如果${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 是交换环，${\displaystyle S}$ 是一个域，且 ${\displaystyle f}$ 是满射，则 ${\displaystyle \ker(f)}$ 是 ${\displaystyle R}$ 的一个最大理想。
• 对于每一个环 ${\displaystyle R}$，都存在一个唯一的环同态 ${\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow R}$。这就是说，整数环是环范畴中的始对象。

例子

• 函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{n}}$，由 ${\displaystyle f(a)=[a]_{n}=a{\bmod {n}}}$ 定义，是一个满射的环同态，它的核为${\displaystyle n\mathbb {Z} }$。
• 当 ${\displaystyle n>1}$ 时，不存在环同态${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rightarrow \mathbb {Z} }$。
• 如果 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ 表示变量为 ${\displaystyle X}$ 的所有实系数多项式的环，${\displaystyle \mathbb {C} }$表示复数域，则函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} [X]\rightarrow \mathbb {C} }$，由 ${\displaystyle f(p)=p(i)}$ 定义（在多项式 ${\displaystyle p}$ 中用虚数单位 ${\displaystyle i}$ 来代替变量 ${\displaystyle X}$），是一个满射的环同态。${\displaystyle f}$ 的核由 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ 内所有能被 ${\displaystyle X^{2}+1}$ 整除的多项式组成。

环同态的种类

• 双射的环同态称为环同构。
• 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。

在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果 ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ 是单同态而不是单射，则它把某个 ${\displaystyle r_{1}}$ 和 ${\displaystyle r_{2}}$ 映射到 ${\displaystyle S}$ 的同一个元素。考虑从 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 到 ${\displaystyle R}$ 的两个映射 ${\displaystyle g_{1}}$ 和 ${\displaystyle g_{2}}$，分别把 ${\displaystyle x}$ 映射到 ${\displaystyle r_{1}}$ 和 ${\displaystyle r_{2}}$；${\displaystyle f\circ g_{1}}$和 ${\displaystyle f\circ g_{2}}$是相等的，但由于 ${\displaystyle f}$ 是单同态，这是不可能的。

然而，在环范畴中，满射的环同态与满同态是非常不同的。例如，${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} }$ 是满同态，但不是满射。

参见

• 同态