理查森外推法

数值分析中，理查森外推法^[1]（英语：Richardson extrapolation）用以改善级数序列收敛效率，它是在20世纪前期由英国数学家、物理学家、气象学家刘易斯·弗赖伊·理查森提出的。在数值分析领域，理查森外推法有很多实际应用，如Romberg's method，是在梯形公式的基础上应用理查森外推法导出的；还有用于求解常微分方程的Bulirsch–Stoer算法。

推导

假定某一函数${\displaystyle D}$可数值近似（离散化）为${\displaystyle D\left(h\right)}$，其中${\displaystyle h}$为步长，

${\displaystyle D=D\left(h\right)+ah^{p}+bh^{q}+\ldots }$ （1）

其中${\displaystyle p}$为首项阶数，${\displaystyle q}$下一项阶数, 满足${\displaystyle q>p}$。

考虑该函数又可以使用同样的数值近似方法，以步长为${\displaystyle h_{2}}$做离散近似

${\displaystyle D=D\left(h_{2}\right)+ah_{2}^{p}+bh_{2}^{q}+\ldots }$ （2）

如果希望消掉式(1)中的${\displaystyle h^{p}}$项，我们可以对以上两式相减，即(1)${\displaystyle -r}$(2)，其中${\displaystyle r=\left({\frac {h}{h_{2}}}\right)^{p}}$：

${\displaystyle \left(1-r\right)D=D\left(h\right)+ah^{p}+bh^{q}-rD\left(h_{2}\right)-rah_{2}^{p}-rbh_{2}^{q}+\ldots =D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)+a\underbrace {\left(h^{p}-rh_{2}^{p}\right)} _{0}+b\left(h^{q}-rh_{2}^{q}\right)}$

${\displaystyle \left(1-r\right)D=D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)+b\left(h^{q}-rh_{2}^{q}\right)}$

${\displaystyle D={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}+{\frac {b\left(h^{q}-rh_{2}^{q}\right)}{1-r}}={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}+{\frac {b\left(1-r{\frac {h_{2}^{q}}{h^{q}}}\right)h^{q}}{1-r}}}$

${\displaystyle D={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}+{\frac {b\left(1-\left({\frac {h}{h_{2}}}\right)^{p}\left({\frac {h_{2}}{h}}\right)^{q}\right)h^{q}}{1-r}}=\underbrace {\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}} _{D^{\ast }\left(h\right)}+\underbrace {\frac {b\left(1-\left({\frac {h_{2}}{h}}\right)^{q-p}\right)}{1-r}} _{b^{\ast }}h^{q}}$

或简记作：

${\displaystyle \therefore D=D^{\ast }\left(h\right)+b^{\ast }h^{q}}$

${\displaystyle D^{\ast }(h)}$代替了${\displaystyle D(h)}$，为${\displaystyle D}$的新的数值近似。新近似相比最初形式具有更高阶的误差项，数值精度由此提高，此方法即为理查森外推法。

示例

应用理查森方法，改善用于近似微分的中心差分公式

${\displaystyle f'\left(x_{n}\right)={\underset {D\left(h\right)}{\underbrace {\frac {f\left(x_{n}+h\right)-f\left(x_{n}-h\right)}{2h}} }}-{\underset {a}{\underbrace {\frac {f'''\left(x_{n}\right)}{6}} }}h^{2}-{\underset {b}{\underbrace {\frac {f^{\left(5\right)}\left(x_{n}\right)}{120}} }}h^{4}}$

则由式(1)可知${\displaystyle p=2,q=4}$, ${\displaystyle h_{2}=2h,r=\left({\frac {1}{2}}\right)^{p}={\frac {1}{4}}}$ 代入公式：

${\displaystyle D^{\ast }={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}={\frac {{\frac {f\left(x_{n}+h\right)-f\left(x_{n}-h\right)}{2h}}-{\frac {1}{4}}{\frac {f\left(x_{n}+2h\right)-f\left(x_{n}-2h\right)}{4h}}}{1-{\frac {1}{4}}}}}$

${\displaystyle D^{\ast }={\frac {8\left[f\left(x_{n}+h\right)-f\left(x_{n}-h\right)\right]-f\left(x_{n}+2h\right)+f\left(x_{n}-2h\right)}{12h}}}$

由此，中心差分公式精度由2阶变为4阶。