积分第二中值定理

积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容

若${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$在${\displaystyle [a,b]}$上黎曼可积且${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上单调，则存在${\displaystyle [a,b]}$上的点${\displaystyle \xi }$使

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}$；

退化态的几何意义

第二积分中值定理退化形式的几何意义

令${\displaystyle g(x)=1}$，则原公式可化为：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}$；

进而导出：

${\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}}$；

此时易得其几何意义为： 能找到${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

另请参见

中值定理