积范畴

此条目介绍的是范畴之间的运算。关于范畴内物件的运算，请见“积 (范畴论)”。

数学分支范畴论中，两个范畴${\displaystyle {\mathcal {C,D}}}$之积，是集合的笛卡儿积的延申。乘积以${\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}$表示，其结果又称积范畴^[1]（英语：product category）。定义双函子及多函子时，要用到积范畴。^[2]

定义

积范畴${\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}$的组成部分有：

• 物件，为

  有序对${\displaystyle (A,B)}$，其中${\displaystyle A}$是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的物件，而${\displaystyle B}$是${\displaystyle {\mathcal {D}}}$的物件；

• 态射，由物件${\displaystyle (A_{1},B_{1})}$至物件${\displaystyle (A_{2},B_{2})}$的态射为：

  有序对${\displaystyle (f,g)}$，其中${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的态射，${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$是${\displaystyle {\mathcal {D}}}$的态射；

• 态射间的复合运算，是逐个分量的复合：

  ${\displaystyle (f_{2},g_{2})\circ (f_{1},g_{1})=(f_{2}\circ f_{1},g_{2}\circ g_{1});}$

• 物件上的恒等态射，由各分量上的恒等态射组成：

  ${\displaystyle 1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B}).}$

与其他概念的关系

两个小范畴之积，是其作为小范畴范畴（英语：Category of small categories）${\displaystyle \mathbf {Cat} }$的物件的乘积。定义域为积范畴的函子，也称为双函子。重要例子有Hom函子（英语：Hom functor），其定义域为某范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$及其对偶范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$之积：

${\displaystyle \mathrm {Hom} :{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} .}$

多个范畴之积

正如二元笛卡儿积可以推广到n元笛卡儿积，范畴的二元积亦同样可以推广到${\displaystyle n}$元积。若不别同构之异，则二元范畴积可交换及可结合，故此${\displaystyle n}$元推广在理论上并无定义额外的新事物。

参考文献