等幂和差

等幂和差，又称幂和差，指同是${\displaystyle n}$次幂的${\displaystyle a}$与${\displaystyle b}$的和与差，即${\displaystyle a^{n}\pm b^{n}}$。

等比数列求和公式的推导

等幂和

当${\displaystyle n}$为奇数时有：

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})}$

因尾项必须为${\displaystyle +b^{n-1}}$，故${\displaystyle n}$不能取偶数。

等幂差

首项为1、公比为${\displaystyle q}$的等比数列求和后得出：

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}q^{r-1}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$

设${\displaystyle q={\frac {a}{b}}}$，换算后即有：

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})}$

逆定理

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}+b^{n}}{a+b}}}$

注意${\displaystyle \sum _{r=1}^{2n-1}a^{4n-2-2r}b^{2r-2}}$可进行因式分解，例如：

${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}={\frac {a^{6}-b^{6}}{a^{2}-b^{2}}}={\frac {(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{(a+b)(a-b)}}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}$

另解：${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}$

参见

• 卢卡斯数列
• 等幂求和