等效位能

等效位能是将许多效应综合成单一位能的数学表达式。在古典力学中，等效位能即为离心力位能与位能的和。等效位能常被用来计算行星的轨道及半古典的原子计算，可用来降低问题的维度。

定义

等效位能 ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ 可定义如下：

${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(\mathbf {r} )}$

L 为角动量。

r 为两物体之距离。

m 为绕行物体之质量。

U(r) 为位能。

等效力，也就是等效位能的梯度取负号则为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ 为r方向的单位向量。

特性

等效位能有许多有用的特性：

${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E}$

要找到一个圆形轨道的半径，我们只要将等效位能对r取最小值，或是找${\displaystyle r_{0}}$使总力为0：

${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}$

在解出${\displaystyle r_{0}}$后，代回${\displaystyle U_{\text{eff}}}$以求等效位能之最大值${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$。

也可求得微小振荡之频率：

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}}}$

其中角分符号代表对r的微分。

例子：重力位能

以质量为m的小天体绕行质量为M的大天体为例，并假设M远大于m。在牛顿力学中，大天体的运动可被忽略，且能量E及角动量L守恒：

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$

${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}\,}$

其中

${\displaystyle {\dot {r}}}$ 为r对时间的微分，

${\displaystyle {\dot {\phi }}}$ 为小天体之角速度，

G 为重力常数。

因为整个运动发生在一平面，所以我们只需要两个变数r及${\displaystyle \phi }$。将第二个式子代回第一个式子，整理之后可得

${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$

其中

${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$

即为等效位能。^{[Note 1]} 如同上式所述，原问题的两个变数被化简成单变数的问题。在许多应用中，等效位能可视为一维系统的位能，譬如说用等效位能来决定转折点及稳定平衡区。类似的方法可用来决定广义相对论中史瓦西度规的轨道。