拉西奥娃-西科尔斯基引理

在公理集合论中，拉西奥娃-西科尔斯基引理（Rasiowa–Sikorski lemma）是力迫使用的技巧中最基本的事实之一，该引理以海伦娜·拉西奥娃（英语：Helena Rasiowa）和罗曼·西科尔斯基（英语：Roman Sikorski）为名。

引理内容

在力迫的领域中，若说偏序集${\displaystyle \left(P,\leq \right)}$的子集${\displaystyle E}$在${\displaystyle P}$中稠密，就表示对于任意的${\displaystyle p\in P}$而言，有${\displaystyle e\in E}$使得${\displaystyle e\leq p}$；而若${\displaystyle D}$是${\displaystyle P}$的稠密子集的集族，那么在满足以下条件的状况下，就称${\displaystyle P}$中的滤子${\displaystyle F}$是${\displaystyle D}$－一般（英语：generic filter）的：

${\displaystyle F\cap E\neq \emptyset ,\forall E\in D}$

再有这些预备知识，就可以来描述拉西奥娃－西科尔斯基引理：

设${\displaystyle \left(P,\leq \right)}$是一个偏序集且${\displaystyle p\in P}$，若${\displaystyle D}$是${\displaystyle P}$的稠密子集的可数集族，那就存在一个${\displaystyle P}$中的${\displaystyle D}$－一般（英语：generic filter）的滤子${\displaystyle F}$，使得${\displaystyle p\in F}$

证明

此引理证明如下：

由于${\displaystyle D}$可数之故，因此可以将${\displaystyle P}$的子集给编号为${\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},...}$等等，由假设可知，存在一个${\displaystyle p\in P}$，然后由稠密性可知，存在一个${\displaystyle p_{1}\leq p}$且${\displaystyle p_{1}\in D_{1}}$，如是反复，可得${\displaystyle ...\leq p_{2}\leq p_{1}\leq p}$，其中${\displaystyle p_{i}\in D_{i}}$，因此${\displaystyle G=\left\{q\in p:\exists i,q\geq p_{i}\right\}}$是${\displaystyle D}$－一般（英语：generic filter）的滤子。

可以认为拉西奥娃－西科尔斯基引理是马丁公理较弱的版本，或说拉西奥娃-西科尔斯基引理等价于${\displaystyle \operatorname {MA} (\aleph _{0})}$。

例子

• 对于${\displaystyle \left(P,\leq \right)=(func(X,Y),\supseteq )}$，也就是从${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的、由包含关系定义的反向偏函数的偏序而言，若定义${\displaystyle D_{x}=\left\{s\in P:x\in dom(s)\right\}}$，那在这种状况下，若${\displaystyle X}$可数，则拉西奥娃－西科尔斯基引理可得一个${\displaystyle \left\{D_{x}:x\in X\right\}}$－一般的滤子${\displaystyle F}$及一个函数${\displaystyle F:X\rightarrow Y}$
• 假若我们使用处理${\displaystyle D}$－一般的滤子的符号，那么${\displaystyle \left\{H\cup G_{0}:P_{ij}P_{t}\right\}}$可得一个${\displaystyle H}$－一般滤子（英语：generic filter）
• 若${\displaystyle D}$不可数，但其基数严格小于${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$且其偏序集满足可数链条件，那我们可使用马丁公理。

参见

• 一般滤子（英语：generic filter）
• 马丁公理

参考资料

• Ciesielski, Krzysztof. Set theory for the working mathematician. London Mathematical Society Student Texts 39. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067.
• Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 102. North-Holland. 1980. ISBN 0-444-85401-0. Zbl 0443.03021.

外部链接

• Tim Chow's新闻群的文章Forcing for dummies （页面存档备份，存于互联网档案馆）对力迫的概念与想法做出了很好的介绍，该文章介绍了主要的想法且跳过了技术性的细节。