罗森布罗克系统矩阵

罗森布罗克系统矩阵（英语：Rosenbrock system matrix）是在应用数学中，针对线性时不变系统的矩阵，可以将状态空间转换为传递函数矩阵。此矩阵是英国控制学家霍华德·哈里·罗森布罗克在1967年所提出^[1]。

定义

考虑以下的线性时不变系统

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du.}$

其罗森布罗克矩阵为

${\displaystyle P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

此为多项式形式（polynomial form）的罗森布罗克矩阵 在罗森布罗克原始研究中，允许常数矩阵${\displaystyle D}$是${\displaystyle s}$的多项式。

输入${\displaystyle i}$及输出${\displaystyle j}$的转换函数为

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}}$

其中${\displaystyle b_{i}}$为矩阵${\displaystyle B}$的第${\displaystyle i}$个列（column），而${\displaystyle c_{j}}$是矩阵 ${\displaystyle C}$的第${\displaystyle j}$行（row）。

罗森布罗克就是以此表示方式推导其定义版本的Popov–Hautus–Belevitch测试，也就是Hautus引理，是有关可控制性的测试。

短形式

为了计算的考量，有时需要较短形式的罗森布罗克系统矩阵^[2]，表示如下

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

此为状态空间形式（state-space form）的罗森布罗克矩阵。

短形式的罗森布罗克系统矩阵广为在H-infinity控制中使用，也称为packed form，例如MATLAB的指令pck^[3]。罗森布罗克系统矩阵在线性分数阶转换的含义可以参阅^[4]。

罗森布罗克系统矩阵的第一个应用是发展卡尔曼分解的快速计算方式。在Matlab及GNU Octave中的minreal指令用到了罗森布罗克方式的变体^[5]。