自由逻辑

自由逻辑是免除存在性假定的逻辑。或者说，它是定理在包括空域的所有论域中都有效的逻辑。

解说

在经典逻辑中，有些定理明确的假定在论域中必须有东西。考虑下列经典的有效定理。

1. ${\displaystyle \forall xA(x)\rightarrow \exists xA(x)}$;

2. ${\displaystyle \forall xA(x)\rightarrow A(r/x)}$（这里的 ${\displaystyle r}$ 对于 ${\displaystyle A(x)}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 不自由出现，而 ${\displaystyle A(r/x)}$ 是代换 ${\displaystyle A(x)}$ 中 ${\displaystyle x}$ 的所有自由出现的结果）;

3. ${\displaystyle A(r)\rightarrow \exists xA(x/r)}$（这里的 ${\displaystyle r}$ 对于 ${\displaystyle A(x)}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 不自由出现）。

在等价理论中的一个有效的模式展示了同样的特征

4. ${\displaystyle \forall x(F(x)\rightarrow G(x))\land \exists xF(x)\rightarrow \exists x(F(x)\land G(x))}$。

非形式的，如果 ${\displaystyle F}$ 是‘ ${\displaystyle =y}$’, ${\displaystyle G}$ 是‘是天马’，而我们代换 ${\displaystyle y}$ 为‘天马’，则 (4) 就允许我们从‘同一于天马的所有东西都是天马’推出某些东西同一于天马。问题来自把变量代换为无指派(nondesignating)的常量: 事实上，我们在一阶逻辑的标准公式中不能这么做，因为这里没有无指派常量。古典上，${\displaystyle \exists x(x=y)}$ 是通过特殊化(就是前面的(3))而演绎自开放等价公理 ${\displaystyle y=y}$。

在自由逻辑中，(1)被替代为

1b. ${\displaystyle \forall xA(x)\land E!t\rightarrow \exists xA(x)}$, 这里的 ${\displaystyle E!}$ 是一个存在谓词（在自由逻辑的某些但不是所有的公式中，${\displaystyle E!t}$ 可以被定义为 ${\displaystyle \exists y(y=t)}$）。

可以对存在性引入的其他定理做类似的修改(比如，特殊化规则变成为${\displaystyle (A(r)\rightarrow (E!r\rightarrow \exists xA(x)))}$。

自由逻辑的公理化由 Hintikka (1959)、Lambert (1967)、Hailperin (1957) 和 Mendelsohn (1989) 给出。

来源

• K. Lambert, "Existential Import Revisited", Notre Dame Journal of Formal Logic, October 1963, p.288-292