范德蒙矩阵

在线性代数中, 范德蒙德矩阵(也译作范德蒙矩阵)得名于亚历山大‑泰奥菲勒·范德蒙德（英语：Alexandre-Théophile_Vandermonde）. 范德蒙德矩阵是一个各行(row)呈现出几何级数关系的矩阵: 它是一个${\displaystyle \left(m+1\right)\times \left(n+1\right)}$矩阵

${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}}$

其中每一项是${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j}}$, 也就是${\displaystyle x_{i}}$的${\displaystyle j}$次方, 其中下标${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$从0开始. ^[1]有些作者将范德蒙德矩阵定义为上述矩阵的转置. ^[2][3]

当${\displaystyle n=m}$时, 即范德蒙德矩阵为方阵时, 其行列式称作范德蒙德行列式或范德蒙德多项式（英语：Vandermonde_polynomial）. 范德蒙德行列式的值为:

${\displaystyle \det \left(V\right)=\prod _{0\leq i<j\leq m}\left(x_{j}-x_{i}\right).}$

范德蒙德行列式非零当且仅当所有${\displaystyle x_{i}}$互异(即任意二者皆不相等), 此时范德蒙德矩阵可逆.

应用

多项式插值问题就是取找到一个多项式 ${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ 对给定的数据点 ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right),\dots ,\left(x_{m},y_{m}\right)}$ 满足 ${\displaystyle p\left(x_{0}\right)=y_{0},\dots ,p\left(x_{m}\right)=y_{m}}$. 这个问题可以在之后以范德蒙德矩阵为工具, 用线性代数的语言改述. 通过矩阵乘法${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$, ${\displaystyle V}$ 可以计算 ${\displaystyle p(x)}$ 在点 ${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$处的值, 其中 ${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{0},\dots ,a_{n}\right)^{T}}$ 是系数向量, 而 ${\displaystyle \mathbf {y} =\left(y_{0},\dots ,y_{m}\right)^{T}=\left(p\left(x_{0}\right),\dots ,p\left(x_{m}\right)\right)^{T}}$ 是值的向量 (都写作列向量的形式):

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\left(x_{0}\right)\\p\left(x_{1}\right)\\\vdots \\p\left(x_{m}\right)\end{bmatrix}}.}$$若 ${\displaystyle n=m}$ 且 ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ 互异, 则 ${\displaystyle V}$ 是行列式不为零的方块矩阵, 也就是可逆矩阵. 由此, 对给定的 ${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {y} }$, 可以通过求解方程 ${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$ 来得到其系数${\displaystyle \mathbf {a} }$ 以求出所需的 ${\displaystyle p(x)}$:^[4]

${\displaystyle \mathbf {a} =V^{-1}\mathbf {y} }$.

此时, 从系数到多项式的值是以${\displaystyle V}$表示的线性双射(一一映射), 并且此插值问题有唯一解. 这个结果叫做唯一性定理, 是多项式环上的中国剩余定理（英语：Chinese remainder theorem#Over univariate polynomial rings and Euclidean domains）的特例.

在统计学中, 方程 ${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$ 表示范德蒙德矩阵是多项式回归的设计矩阵.

在数值分析中, 可以朴素地使用高斯消元法作为一个算法来求解 ${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$, 其时间复杂度为 ${\displaystyle O\left(n^{3}\right)}$. 利用范德蒙德矩阵的结构, 可利用牛顿差商插值法^[5](或拉格朗日插值法^[6][7])以 ${\displaystyle O\left(n^{2}\right)}$ 的复杂度求解这个方程, 同时也给出了 ${\displaystyle V^{-1}}$ 的LU分解. 即使 ${\displaystyle V}$ 是病态的, 这个求解算法也可以得到极其精确的结果.^[2] (见多项式插值).

范德蒙德行列式可在对称群的表示论（英语：Representation_theory_of_the_symmetric_group）使用.^[8]

当${\displaystyle x_{i}}$的值属于一个有限域时, 范德蒙德行列式也被称作Moore行列式（英语：Moore matrix）, 并且具有对BCH码与里德-所罗门码理论来说重要的性质.

离散傅里叶变换由离散傅里叶变换矩阵定义, 此矩阵是一特定的范德蒙德矩阵, 其中 ${\displaystyle x_{i}}$ 处是 ${\displaystyle n}$ 次单位根(${\displaystyle \mathrm {e} ^{\frac {2i\pi \mathrm {i} }{n}}\quad \left(i=0,\dots ,n-1\right)}$). 快速傅里叶变换通过计算此矩阵与向量的乘积达到了 ${\displaystyle O\left(n\log ^{2}\left(n\right)\right)}$的时间复杂度.^[9] 详见多点多项式求值（英语：Polynomial_evaluation#Multipoint_evaluation）.

在物理学理论的量子霍尔效应中, 范德蒙德行列式指出, 填充因子为1的Laughlin波函数（英语：Laughlin wavefunction）等于斯莱特行列式. 然而在分数量子霍尔效应中, 对于不同于1的填充因子, 这一说法不再成立.

在多面体几何中, 范德蒙德矩阵矩阵给出了循环多胞形（英语：cyclic polytope）任意 ${\displaystyle k}$ 维面的正规化量度. 具体来说, 若 ${\displaystyle F=C_{d}\left(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}}\right)}$ 是循环多胞形 ${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$ 的一个${\displaystyle k}$维面, 而这个循环多胞形又与 ${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$ 对应, 则有 $${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$