菱形九十面体

菱形九十面体是一种由90个菱形组成的凸多面体，属于环带多面体^[2][3]，是截半截角二十面体的对偶多面体，由90个面、180条边和92个顶点所组成^[1]，并具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）。^[4][1]

菱形九十面体

（按这里观看旋转模型）
类别	凸多面体
对偶多面体	截半截角二十面体
数学表示法
施莱夫利符号	rt{3,5}
康威表示法	jtI dakD
性质
面	60
边	150
顶点	92
欧拉特征数	F=60, E=150, V=92 （χ=2）
二面角	157.761度（宽菱形与窄菱形）[1] 164.4775度（宽菱形与宽菱形）[1]
组成与布局
面的种类	两种菱形
顶点的种类	60个3阶顶点 12个5阶顶点 20个6阶顶点[1]
对称性
对称群	Ih（英语：Icosahedral symmetry）, [5,3], *532
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	I, [5,3]+, (532)
图像
截半截角二十面体 （对偶多面体） （展开图）

组成菱形九十面体的菱形有两种，一种较宽、另一种较窄^[5]，其中，较宽的菱形有60个、较窄的菱形有30个，构成的方式有3个菱形的公共顶点、5个菱形的公共顶点和6个菱形的公共顶点。^[1]

性质

菱形九十面体由90个面、180条边和92个顶点所组成。^[1]在其90个面中，有60个较宽的菱形和30个较窄的菱形^[6]。在其92个顶点中，有60个顶点是3个菱形的公共顶点、12个顶点是5个菱形的公共顶点和20个顶点是6个菱形的公共顶点。^[1]在对称性上，菱形九十面体共有12个具有5倍对称性的顶点，位于5个较宽之菱形的公共顶点、20个具有3倍对称性的顶点，位于6个宽窄交替之菱形的公共顶点上、30个具有2倍对称性的顶点，位于较窄菱形面的面心和15个镜像平面。剩下的60个顶点是3个菱形的公共顶点则不是对称点。^[4]

构造

菱形九十面体可以由不均匀的截角二十面体在所有面上加上角锥，并调整锥高直到加入之角锥的侧面与邻面加入之角锥的侧面共面或二面角为零为止来构造，并且确保两种锥体（加入到截角二十面体所有面上的锥体会有五角锥和六角锥两种）的侧边边长相等。这种构造方式在康威多面体表示法中记为j，而截角二十面体在康威多面体表示法中记为tI^[7]，则菱形九十面体在康威多面体表示法中可以表示为jtI。如果构造的过程并未强制让两种锥体侧边边长相等，仅受二十面体对称性的限制，则所形成之立体中的宽菱形会变成筝形。

在康威多面体表示法中，其可以表示为jtI或dakD^[8]。

面的组成

菱形九十面体由两种菱形组成。其中有60个较宽的菱形和30个较窄的菱形。若菱形九十面体的边长为单位长，则较宽的菱形宽度为：^[1]

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\approx 1.154700538379}$

较宽的菱形长度为：^[1]

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\approx 1.632993161855}$

较宽的菱形的对角线比为1比2的平方根^[9]，两个角分别为r = arccos(1/3) = 70.528779°和R = arccos(-1/3) = 109.471221°。^[10][4]

而较窄的菱形宽度为：^[1]

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{3}}\approx 0.713644179546}$

较窄的菱形长度为：^[1]

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{3}}\approx 1.868344717925}$

较窄的菱形的对角线比为1比黄金比例的平方^[9]，约为1:2.6180339887；两个角分别为r' = ${\displaystyle \arccos \left({\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\right)}$ = 41.810315°和R' = ${\displaystyle \arccos \left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\right)}$ = 138.189685°。^[10][4]

二面角

菱形九十面体有两种二面角，分别为较窄菱形面与较宽菱形面的二面角，以及较宽菱形面与较宽菱形面的二面角。其中，较窄菱形面与较宽菱形面的二面角约为157.761度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {3{\sqrt {2}}+{\sqrt {10}}}{8}}\right)\approx 2.7534531382196\approx 157.761243907^{\circ }}$

较宽菱形面与较宽菱形面的二面角约为164.4775度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 2.87067413313357\approx 164.477512186^{\circ }}$

尺寸

若菱形九十面体的边长为单位长，则其体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle A}$为：^[1]

${\displaystyle V={\frac {20\left(7{\sqrt {3}}+4{\sqrt {15}}\right)}{9}}\approx 61.3695311951}$^[1]

${\displaystyle A=20+40{\sqrt {2}}\approx 76.5685424949}$^[11]

菱形九十面体的顶点顶并未共球，因此不存在外接球，而其三种顶点分别共球，分别为三阶顶点（3个菱形的公共顶点）共球、五阶顶点（5个菱形的公共顶点）共球和六阶顶点（6个菱形的公共顶点）共球。这些球面的半径为：^[1]

三阶顶点（3个菱形的公共顶点）共球的球半径为：^[1]

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {21}}+{\sqrt {105}}}{6}}\approx 2.4715877434859}$

五阶顶点（5个菱形的公共顶点）共球的球半径为：^[1]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {30\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{6}}\approx 2.455617365942}$

六阶顶点（6个菱形的公共顶点）共球的球半径为：^[1]

${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 2.61803398874989}$

参见

• 菱形六十面体