蒙日圆

法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$。这一结论被称为蒙日圆。

证明

设${\displaystyle F_{1},F_{2}}$分别为椭圆的左右焦点，焦距为${\displaystyle c}$。设点${\displaystyle M,N}$分别为点${\displaystyle F_{1}}$关于${\displaystyle PA}$，${\displaystyle F_{2}}$关于${\displaystyle PB}$的对称点。由椭圆的光学性质^[a]知${\displaystyle F_{2}}$，${\displaystyle A}$，${\displaystyle M}$及${\displaystyle F_{1}}$，${\displaystyle B}$，${\displaystyle N}$分别三点共线，由椭圆定义有${\displaystyle MF_{2}=NF_{1}=2a}$。设${\displaystyle F_{1}M}$交直线${\displaystyle PA}$于点${\displaystyle Q}$，${\displaystyle F_{2}N}$交直线${\displaystyle PB}$于点${\displaystyle S}$，分别延长${\displaystyle MF_{1}}$，${\displaystyle NF_{2}}$交于点${\displaystyle R}$，则${\displaystyle OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a}$，${\displaystyle OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c}$。在矩形${\displaystyle PQRS}$中，由平面几何知识易知${\displaystyle OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}}$，于是${\displaystyle OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}}$。

在双曲线中的结论

与双曲线${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)}$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$。

在抛物线中的结论

与抛物线${\displaystyle y^{2}=2px(p>0)}$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}$(可以看成是半径无穷大的圆)。