复化

数学中，实数域上的向量空间V的复化是在复数域上对应的向量空间V^C，就是说它有与V相同的维数，V在实数域上的基可以作为V^C在复数域上的基。

例如设V包含m×n实矩阵，则V^C包含m×n复矩阵。

不依赖于基的定义是取V和复数在实域上的张量积：

${\displaystyle V^{C}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$。

复向量空间${\displaystyle V^{C}}$有额外结构：典范复共轭运算${\displaystyle \phi \ }$。因为${\displaystyle V}$以${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1}$包含在${\displaystyle V^{C}}$内，复共轭运算可定义为${\displaystyle \phi (v\otimes z)=v\otimes z^{*}}$。这运算常记作${\displaystyle w^{*}}$或${\displaystyle {\overline {w}}}$。

相反地，给出复向量空间${\displaystyle W}$，并有复共轭运算${\displaystyle \phi \ }$，${\displaystyle W}$作为复向量空间同构于${\displaystyle W}$的实子空间${\displaystyle S=\{w\in W:\phi (w)=w\}}$的复化${\displaystyle S^{C}}$。也就是说，所有带有复共轭运算的复向量空间都是实向量空间的复化。

例如${\displaystyle W=\mathbb {C} }$有标准共轭运算${\displaystyle \phi (z)=z^{*}\ }$，那么${\displaystyle S=\mathbb {R} }$。