西格尔引理

在数学上，特别是超越数论和丢番图逼近的研究中，西格尔引理（Siegel's lemma）指的是从辅助函数的构造中得到的线性方程的解的界限。这些多项式的存在性由阿克塞尔·图厄所证明：^[1]图厄的证明用到了鸽巢原理，卡尔·路德维希·西格尔在1929年出版此引理。^[2]这是一个线性方程组方面纯粹的存在性定理。

近年来，西格尔引理受到改进以得出比引理给出的估计更强的界限。^[3]

陈述

设有一组有${\displaystyle M}$个方程、${\displaystyle N}$个未知数，且${\displaystyle N>M}$的方程组，其中的方程式有著如下的形式：

${\displaystyle a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0}$

在这些方程组的系数为有理数、不全为零，且以${\displaystyle B}$为界的状况下，这方程组有如下的解：

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$

其中的${\displaystyle X}$全为有理数、不全为0，且上下界如下：

${\displaystyle (NB)^{M/(N-M)}}$^[4]

Bombieri及Vaaler在1983年对${\displaystyle X}$给出了如下更强的界限（Bombieri & Vaaler (1983)）：

${\displaystyle \max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(N-M)}}$

其中${\displaystyle D}$是矩阵${\displaystyle A}$的${\displaystyle M\times M}$子式的最大公因数，而${\displaystyle A^{T}}$则是其转置矩阵。他们的证明涉及了将鸽巢原理以几何数论的技巧取代的做法。

参见

• 丢番图逼近