变分法基本引理

在数学里，特别是在变分法里，变分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一种专门用来变换问题表述的引理，可以将问题从弱版表述（weak formulation）（变分形式）改变为强版表述（微分形式）。

叙述

${\displaystyle C^{k}}$ 代表${\displaystyle k}$阶导数连续（${\displaystyle k}$阶光滑）的函数空间，${\displaystyle C^{\infty }}$代表无限光滑的函数空间。

变分法基本引理：

设 ${\displaystyle f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}$

若任意 ${\displaystyle h(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}$ 满足 ${\displaystyle h(a)=h(b)=0\,\!}$ 成立

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!}$

则 ${\displaystyle {\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!}$。

证明

设 ${\displaystyle f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}$ 且 ${\displaystyle f(x)\neq 0\,\!}$ ，

因为只要存在一个不满足 ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!}$ 的 ${\displaystyle h(x)}$ ，就可以证明 ${\displaystyle f(x)=0\,\!}$ ，因此我们只须证明其中一个特例。

令 ${\displaystyle r(x)\,\!}$ 满足下列两个条件：

${\displaystyle r(a)=r(b)=0\,\!}$ ；

${\displaystyle {\mbox{∀}}x\in (a,\ b):r(x)>0\,\!}$ ；

并且令 ${\displaystyle h(x)=r(x)f(x)\,\!}$。

由 ${\displaystyle h(x)=r(x)f(x)\,\!}$ 可得到

${\displaystyle 0=\int _{a}^{b}f(x)h(x)\;dx=\int _{a}^{b}r(x)f(x)^{2}\;dx\,\!}$ 。

因为 ${\displaystyle r(x)\,\!}$ 在 ${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$ 是正值，所以${\displaystyle f(x)\,\!}$ 必须恒等于 0 ，与假设 ${\displaystyle f(x)\neq 0\,\!}$ 矛盾。

故 ${\displaystyle {\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!}$ 。

应用

这引理可用来证明泛函

${\displaystyle J[f(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t,y,{\dot {y}})\,dt\,\!}$

的极值是欧拉-拉格朗日方程式

${\displaystyle {d \over dt}\left({\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial {\dot {y}}}\right)-{\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial y}=0\,\!}$

的弱解。

欧拉-拉格朗日方程式在经典力学和微分几何占有重要的角色。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿原理
• 泛函分析

参考文献

• Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.