费马曲线

数学上的费马曲线是指由费马方程:${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$所定义，在齐次坐标复射影平面上的代数曲线。

费马立方曲线${\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}}$

在仿射平面上的方程为：

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

费马方程的整数解会对应仿射方程上的非零有理数解，但根据费马大定理，在n > 2时，费马方程没有非平凡的整数解，因此费马曲线没有非平凡的有理中数点。

费马曲线为非奇异的代数曲线，亏格为：

${\displaystyle (n-1)(n-2)/2.\ }$

在n = 2时，其亏格为0（圆锥曲线），只有在n = 3时，其亏格为1（椭圆曲线）。学者已对费马曲线的雅可比簇（英语：Jacobian variety）进行深入的研究。它和有复乘（英语：complex multiplication）（complex multiplication）的简单阿贝尔簇的乘积同源。

费马曲线具有gonality（英语：gonality）:

${\displaystyle n-1.\ }$

费马簇

多变数的费马形方程可以将费马簇定义为射影簇（英语：projective varieties）。

参考资料

• Baker, Matthew; Gonzalez-Jimenez, Enrique; Gonzalez, Josep; Poonen, Bjorn, Finiteness results for modular curves of genus at least 2, American Journal of Mathematics, 2005, 127 (6): 1325–1387, JSTOR 40068023, S2CID 8578601, arXiv:math/0211394 , doi:10.1353/ajm.2005.0037
• Gross, Benedict H.; Rohrlich, David E., Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve (PDF), Inventiones Mathematicae\, 1978, 44 (3): 201–224, S2CID 121819622, doi:10.1007/BF01403161, （原始内容 (PDF)存档于2011-07-13）
• Klassen, Matthew J.; Debarre, Olivier, Points of Low Degree on Smooth Plane Curves, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1994, 1994 (446): 81–88, S2CID 7967465, arXiv:alg-geom/9210004 , doi:10.1515/crll.1994.446.81
• Tzermias, Pavlos, Low-Degree Points on Hurwitz-Klein Curves, Transactions of the American Mathematical Society, 2004, 356 (3): 939–951, JSTOR 1195002, doi:10.1090/S0002-9947-03-03454-8