质心运动定律

质心运动定理是动力学的基本定理之一。它指出，质点系统的质心运动等价于位于质心处的单个质点的运动。该质点的质量等于系统的总质量，作用于该质点的合外力是作用于系统的所有外力的矢量和^[1]。质心的坐标由各质点质量的加权平均值决定，其运动仅由作用于系统的外力决定。该定理的数学表达式为：系统总质量与质心加速度的乘积等于作用于系统的外力的矢量和[1]。由此可知，当系统外力的矢量和为零时，质心保持匀速运动或静止；当外力矢量和在某一轴上的投影为零时，质心沿该轴的运动状态保持不变。该定理揭示了质点系统的整体平动运动规律与单个质点运动方程之间的一致性。一个大型木块在光滑水平轨道上与多个小型木块连续碰撞的运动分析是该定理的典型应用场景。

概述

定义：质心系统内每个质点的位置由动量定理^[2]确定。

质量中心是物质系统中质量集中的假想点，简称质心^[3]。用于表示质心的位置矢量， 表示质心坐标，它是质心系统质量分布的平均坐标，即按质量加权的平均坐标。

质心系统的质量与质心加速度的乘积始终等于作用于该质心系统的所有外力的矢量和；这被称为质心运动定理。

刚体

定理的陈述

对于一个由 ${\displaystyle n}$个粒子组成的系统，每个粒子的质量为 ${\displaystyle m_{i}}$，位置矢量为 ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$，系统质心的位置 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ 定义为：

${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}}}$

其中${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}}$ 是系统的总质量。

质心运动定理：质心的加速度${\displaystyle \mathbf {A} }$满足：

${\displaystyle M\mathbf {A} =\mathbf {F} _{\text{ext}}}$

其中${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{ext}}}$是系统所受的所有外力的矢量和。这相当于牛顿第二定律应用于质心：质心像一个质量为 ${\displaystyle M}$ 的点粒子，受净外力${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{ext}}}$的作用。

如果没有净外力（${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{ext}}=0}$），则质心匀速直线运动或静止（动量守恒）。

示例应用

火箭发射：火箭质心的运动取决于推力（外力），而燃料燃烧产生的内力不会影响质心的运动轨迹。

碰撞：在没有外力作用的系统中（例如孤立系统），碰撞前后质心的速度保持不变（动量守恒）。

定理的推论

基于此定理，我们可以推导出：① 一个质点系统的内力不会影响其质心的运动；例如，跳水运动员从跳板跳下后，无论他在空中采取什么动作或姿势，由于外力（重力）没有改变，跳水运动员的质心在入水前仍然沿抛物线轨迹运动；② 如果作用于一个质点系统的外力矢量和始终为零，则该质点系统的质心将做匀速直线运动或保持静止；③ 如果作用于一个质点系统的外力矢量和在某一轴上的投影始终为零，则该质点系统的质心在该轴上的坐标将匀速变化或保持不变。

实质

可以看出，将真实物体抽象为质点并应用牛顿第二定律，只考虑了物体质心的运动，而忽略了各质点绕质心的运动以及质点之间的相对运动。这就是质点模型方法^[4]的本质。

换句话说，在质点动力学中，我们研究的“质点”实际上是物体的“质心”。

局限性

只给出了质心的加速度；没有提供质点系的全面描述。

参考文献

1.戴宗信．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：质心运动定理：中国大百科全书出版社，1987 ：586页．

2.张祥东主编. 理论力学[M]. 重庆：重庆大学出版社, 2006.07：214.

3. August Möbius (1790 - 1868) - Biography - MacTutor History of Mathematics．

4.恽馥．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：质点系．中国大百科全书出版社．1987．584

5.Pourciau B. Is Newton’s second law really Newton’s?[J]. American Journal of Physics, 2011, 79(10): 1015-1022.

6.[美]弗·卡约里．物理学史[M]．戴念祖，译．北京：中国人民大学出版社，2010：4-5，29-35，43-54．

7.吕林根, 许子道．解析几何．北京．高等教育出版社．2006