逆半群

群论中，逆半群 ${\displaystyle S}$ 为一类半群，其任意元 ${\displaystyle x\in S}$ 均具唯一逆 ${\displaystyle y\in S}$ 使得 ${\displaystyle x=xyx}$ 且 ${\displaystyle y=yxy}$, 即任意元均具唯一逆的正规半群。逆半群出现在不少领域，如用于研究部分对称群。^[1]

（本文遵循半群理论研究中的惯例，书函数名于参数右侧，函数复合亦从左至右，如 ${\displaystyle x\ f}$ 而非 ${\displaystyle f(x)}$.）

起源

逆半群分别由 Виктор Владимирович Вагнер​（英语）在苏联于 1952 年^[2]、Gordon Preston​（英语）在英国于 1954 年独立引入。^[3]两位作者均通过研究集合上的偏双射^{[注 1]}得到逆半群：集合 ${\displaystyle X}$ 的偏变换 ${\displaystyle \alpha }$ 为从 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle B}$ 的函数，其中 ${\displaystyle A,\,B\subseteq X}$. 令 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ 为集合 ${\displaystyle X}$ 的偏变换，其能够（从左到右）在“有意义”组成它们的最大定义域上组成：

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =\left[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta \right]\alpha ^{-1}}$,

其中 ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ 表示 ${\displaystyle \alpha }$ 的原像。偏变换在伪群​（英语）的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏变换的复合是二元关系复合的特例，还认识到两个偏变换的复合，其定义域可能为空，因而引入空变换以考虑之。伴随空变换引入，集合偏变换的复合是处处定义的二元结合关系。^[4]依此复合，集合 ${\displaystyle X}$ 上全部偏一一变换的总体 ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ 即构成一逆半群，称 ${\displaystyle X}$ 上的对称逆半群或幺半群，其中逆定义作从像到定义域的函数逆。这就是“原型”逆半群了，同样地可以说对称群是“原型”群。举例，所有群均可嵌入对称群，所有逆半群均可嵌入对称逆半群（见下文的逆半群的同态与表示章节）。

基本叙述

逆半群 ${\displaystyle S}$ 中的元 ${\displaystyle x}$, 其逆常写作 ${\displaystyle x^{-1}}$. 逆半群中的逆，不少性质同乎群中的逆，例如 ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$. 在逆幺半群^{[注 2]}中，${\displaystyle xx^{-1}}$ 和 ${\displaystyle x^{-1}x}$ 均幂等。^[5]满足 ${\displaystyle \forall x\in S,\,xx^{-1}=e=x^{-1}x}$ 的逆幺半群 ${\displaystyle S}$ （一个“幂幺逆幺半群”）当然是群。

逆半群 ${\displaystyle S}$ 有如下等价特征：^[6]

• 任意元均具唯一逆当 ${\displaystyle S}$ 具幺。
• 任意元均具至少一个逆（${\displaystyle S}$ 为正规半群）且幂等元交换（即 ${\displaystyle S}$ 的幂等元构成半格）。
• 任意 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-类与 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-类均具恰好一个幂等元，其中 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是 Green 关系​（英语）其二。

${\displaystyle s}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-类中的幂等元为 ${\displaystyle s^{-1}s}$, 而 ${\displaystyle s}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-类中的幂等元为 ${\displaystyle ss^{-1}}$.

因而在逆半群中的 Green 关系又一个简单特征：^[7]

${\displaystyle a{\mathcal {L}}b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a{\mathcal {R}}b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$.

除非另行说明，将以 ${\displaystyle E(S)}$ 指代逆半群 ${\displaystyle S}$ 幂等元构成的半格。

逆半群的例子

• 集合 ${\displaystyle X}$ 上的偏双射构成映射复合运算下的逆半群。
• 群均为逆半群。
• 双循环半群​（英语）逆，有 (a, b)⁻¹ = (b, a).
• 半格均为逆半群。
• Brandt 半群​（英语）逆。
• Munn 半群​（英语）逆。

以乘法表示例，逆半群可结合，且任意元均由 aba = a, bab = b 具其逆，但无幺且非交换。

逆半群

	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle e}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle b}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle e}$

自然偏序

逆半群 ${\displaystyle S}$ 总具自然偏序 ${\displaystyle \leq }$（有时写作 ${\displaystyle \omega }$），满足：^[8]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

对 ${\displaystyle S}$ 中的幂等元 ${\displaystyle e\in S}$. 此外有等价表述

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

对一些（一般不同的）幂等元 ${\displaystyle f\in S}$. 实际上 ${\displaystyle e}$ 可视作 ${\displaystyle aa^{-1}}$, ${\displaystyle f}$ 可视作 ${\displaystyle a^{-1}a}$.^[9]

自然偏序同时兼容乘法与逆运算，即：

${\displaystyle a\leq b,\,c\leq d\implies ac\leq bd,}$

且

${\displaystyle a\leq b\implies a^{-1}\leq b^{-1}.}$

群中的逆序则简单地退化为等价关系，因为幺元正是其唯一幂等元。在交换逆半群中，逆序退化为限制映射，即 ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ 当且仅当 ${\displaystyle \alpha }$ 的定义域含于 ${\displaystyle \beta }$ 的定义域，且 ${\displaystyle \forall x\in D_{\alpha },\,x\alpha =x\beta }$.

对 ${\displaystyle E(S)}$ 来说^{[注 3]}，自然偏序变成了：

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

故而由于幂等元构成乘积运算下的半格，${\displaystyle E(S)}$ 的乘积给出了关系 ${\displaystyle \leq }$ 的最小上界。

若 ${\displaystyle E(S)}$ 有限且构成链（即 ${\displaystyle E(S)}$ 按 ${\displaystyle \leq }$ 构成全序），则 ${\displaystyle S}$ 为群的并。^[10]若 ${\displaystyle E(S)}$ 为无穷链，亦可能据 ${\displaystyle S}$ 和 ${\displaystyle E(S)}$ 的假设获得类似结果。^[11]

逆半群的同态与表示

逆半群的同态（或态射）以与对其他半群那样完全相同的方式定义：对逆半群 ${\displaystyle S,\,T}$, 函数 ${\displaystyle \vartheta \colon \,S\to T}$ 是同态，当且仅当 ${\displaystyle \forall s,\,t\in S,\,(s\vartheta )(t\vartheta )=(st)\vartheta }$. 可用控制条件 ${\displaystyle (s\vartheta )^{-1}=s^{-1}\vartheta }$ 加强上述定义以阐明逆半群的态射，但并不必要，因为这一性质可由上面的定义导出，有定理：

定理 — 逆半群的同态像仍是逆半群，元的逆总通过映到其像的逆。^[12]

关于逆半群，最早的结果之一由 Wagner-Prestion 定理证明，这是群论中 Cayley 定理的类推：

Wagner-Preston 定理 — 设 ${\displaystyle S}$ 为逆半群，则由

${\displaystyle \operatorname {dom} (a\varphi )=Sa^{-1}\ {\text{and}}\ x(a\varphi )=xa}$

给出的函数 ${\displaystyle \varphi \colon \,S\to {\mathcal {I}}_{S}}$ 为 ${\displaystyle S}$ 的忠实表示。^[13]

因此，任意逆半群可嵌入交换逆半群，而偏双射的像对取逆封闭。反过来说，任意交换逆半群的子半群是逆半群，若对逆运算封闭。故而半群 ${\displaystyle S}$ 同构于交换逆半群对逆运算封闭的子半群当且仅当 ${\displaystyle S}$ 是逆半群。

逆半群的同余

逆半群的同余实际与其他半群的如出一辙：同余 ${\displaystyle \varrho }$ 为兼容半群乘法的等价关系：

${\displaystyle a\ \varrho \ b,\,c\ \varrho \ d\implies ac\ \varrho \ bd}$.^[14]

特别值得关注的是定义在逆半群 ${\displaystyle S}$ 上的关系 ${\displaystyle \varsigma }$:

${\displaystyle a\ \varsigma \ b\implies \exists c\in S,c\leq a,\,b}$.^[15]

可以证明 ${\displaystyle \varsigma }$ 为同余，而且实际上是群同余，这意味着因子半群 ${\displaystyle S/\varsigma }$ 是群。半群 ${\displaystyle S}$ 上的所有群同余构成的集合中的极小元（就由集合包含给出的偏序而言）不一定是最小元。特别当 ${\displaystyle S}$ 为逆半群时，${\displaystyle \varsigma }$ 是使得 ${\displaystyle S/\varsigma }$ 是群的 ${\displaystyle S}$ 上的最小同余，换言之，给定群同余 ${\displaystyle \tau \neq \varsigma }$, ${\displaystyle \varsigma }$ 必包含于 ${\displaystyle \tau }$. 称同余 ${\displaystyle \varsigma }$ 为 ${\displaystyle S}$ 上的极小群同余。^[16]极小群同余可用于给出 ${\displaystyle E}$-纯逆半群的一个表征（见下文）。

逆半群 ${\displaystyle S}$ 的同余 ${\displaystyle \varrho }$ 称幂等纯若

${\displaystyle a\in S,\,e\in E(S),\,a\ \varrho \ e\implies a\in E(S).}$^[17]

E {\displaystyle E} -纯逆半群[注 4]

一类常年广受关注的逆半群是 ${\displaystyle E}$-纯逆半群：称逆半群 ${\displaystyle S}$（有幂等元半格 ${\displaystyle E}$） ${\displaystyle E}$-纯当且仅当 ${\displaystyle \forall e\in E,\,\forall s\in S,}$

${\displaystyle es\in E\implies s\in E.}$

条件等价于

${\displaystyle se\in E\implies s\in E.}$^[6]

以下是 ${\displaystyle E}$-纯逆半群 ${\displaystyle S}$ 更深刻的一个表征：${\displaystyle \forall s\in S,\,\forall e\in E\left(e\leq s\implies s\in E\right)}$.

定理 — 令 ${\displaystyle S}$ 为逆半群，有幂等元半格 ${\displaystyle E}$ 及极小群同余 ${\displaystyle \varsigma }$，则下列叙述等价：

1. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$-纯；
2. ${\displaystyle \varsigma }$ 幂等纯；
3. ${\displaystyle \sim =\varsigma }$,

其中 ${\displaystyle \sim }$ 为 ${\displaystyle S}$ 上的***相容关系***，定义为：

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},\,a^{-1}b}$ 幂等。

McAlister 覆盖定理 — 每个逆半群 ${\displaystyle S}$ 均具一个 ${\displaystyle E}$-纯覆盖，即存在幂等的从 ${\displaystyle E}$-纯半群 ${\displaystyle T}$ 到 ${\displaystyle S}$ 的分离满同态。

${\displaystyle E}$-纯逆半群研究的核心为下述构造。

令 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 为序关系 ${\displaystyle \leq }$ 的偏序集，令子集 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {X}}}$ 具性质：

1. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 为下半格，即 ${\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {Y}},}$ 存在（对于 ${\displaystyle \leq }$ 来说的）下确界 ${\displaystyle A\land B\in {\mathcal {Y}}}$；
2. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 的序理想，即 ${\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {X}},(A\in {\mathcal {Y}},\,B\leq A)\implies (B\in {\mathcal {Y}})}$.

现令 ${\displaystyle G}$ 为左作用于 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 上的群，有

• ${\displaystyle \forall g\in G,\,\forall A,\,B\in {\mathcal {X}},\,gA=gB\iff A=B;}$
• ${\displaystyle \forall g\in G,\,\forall B\in {\mathcal {X}},\,\exists A\in {\mathcal {X}}(gA=B);}$
• ${\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {X}},\,A\leq B\iff gA\leq gB;}$
• ${\displaystyle \forall g,\,h\in G,\,\forall A\in {\mathcal {X}},\,g(hA)=(gh)A.}$

三元组 ${\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 亦假设拥有如下性质：

• ${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {X}},\,\exists g\in G,\exists A\in {\mathcal {Y}}(gA=X);}$
• ${\displaystyle \forall g\in G,\,g{\mathcal {Y}}\cap {\mathcal {Y}}\neq \varnothing .}$

如此的 ${\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 称 McAlister 三元组。McAlister 三元组用于定义如下:

${\displaystyle P(G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})=\left\{(A,\,g)\in {\mathcal {Y}}\times G\colon \,g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\right\}}$

通过乘法规则

${\displaystyle (A,\,g)(B,\,h)=(A\land gB,\,gh).}$

此时 ${\displaystyle P(G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 构成该乘法规则下的逆半群，有 ${\displaystyle (A,\,g)^{-1}=(g^{-1}A,\,g^{-1})}$. ${\displaystyle E}$-纯逆半群研究的主要结果之一是 McAlister ${\displaystyle P}$-定理：

McAlister ${\displaystyle P}$ 定理 — 令 ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ 为 McAlister 三元组，则 ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ 为 ${\displaystyle E}$-纯逆半群。另一方面，${\displaystyle E}$-纯逆半群同构于上述类型之一。

${\displaystyle F}$-逆半群

逆半群称 ${\displaystyle F}$-逆半群若任意元在自然偏序意义下均拥有唯一极大元，即所有 ${\displaystyle \varsigma }$-类均拥有极大元。${\displaystyle F}$-逆半群均为 ${\displaystyle E}$-纯幺半群。McAlister 覆盖定理由 M. V. Lawson 精简叙述如下：

定理 — 逆半群均具 ${\displaystyle F}$-覆盖。

McAlister ${\displaystyle P}$-定理能够良好表征 ${\displaystyle F}$-逆半群。McAlister 三元组 ${\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 为 ${\displaystyle F}$-逆半群，当且仅当 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 的主理想且 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 为半格。

与范畴论的联系

上文中集合上偏变换的复合得到了交换逆半群，下面阐述另一种复合偏变换的形式，约束力更强：两偏变换 ${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$ 可复合当且仅当 ${\displaystyle \alpha }$ 的像完全等于 ${\displaystyle \beta }$ 的定义域，否则称复合 ${\displaystyle \alpha \beta }$ 未定义。

采用替换后的复合定义，所有集合上的偏一一变换总体不构成逆半群，而在范畴意义上构成诱导群胚。

逆半群和到处群培之间的密切联系体现于 Ehresmann-Schein-Nambooripad 定理，该定理指明，导出群胚总能经由逆半群构造，反之亦然。^[1]更准确地说，逆半群严格地是偏序集范畴中的一个群胚，这是关于其（对偶）Alexandrov 拓扑的 étale 群胚，且其对象的偏序集为交半格。

逆半群的推广

按前述记号，逆半群 ${\displaystyle S}$ 限制于：

1. ${\displaystyle S}$ 为正则半群；
2. ${\displaystyle S}$ 中的幂等元交换。

对逆半群来说，这就引出两条不同的推广方式，即保留其中一个限制而取消另一个。

逆半群的正则推广有下例：

• 正则半群：半群 ${\displaystyle S}$ 正则，当其任意元均有逆。或者符号化叙述为 ${\displaystyle \forall a\in S,\,\exists x\in S(axa=a)}$.
• 局部逆半群：正则半群 ${\displaystyle S}$ 局部逆，，若对某个幂等元 ${\displaystyle e}$ 有 ${\displaystyle eSe}$ 为逆半群。
• 保守半群：正则半群 ${\displaystyle S}$ 保守，若其幂等元子集构成子半群。
• 广义逆半群：正则半群称广义逆半群，若其幂等元构成正规带，即对任意幂等元 ${\displaystyle x,\,y,\,z,}$ 有 ${\displaystyle xyzx=xzyx}$.

广义逆半群类为局部逆半群类与保守半群类的交。^[6]

逆半群的非正则推广有：^[18]

• 左/右/双边 适半群。
• 左/右/双边 充半群。
• 左/右/双边 半适半群。
• 弱 左/右/双边 充半群。

逆范畴

逆运算这一记号亦可拓展到范畴上。逆范畴即其任意态射 ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (X,\,Y)}$, 均对应唯一逆 ${\displaystyle g\in \operatorname {Hom} (Y,\,X)}$, 使得 ${\displaystyle fgf=f,\,gfg=g=g}$. 易知逆范畴自对偶。典例即集合范畴及其上的偏双射。

逆范畴在理论计算机科学里已有部分应用。