里奇流

里奇-哈密顿流，一般称为里奇流（英语：Ricci flow）在微分几何中是指一种固有的几何学流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让度规张量随时间变化，观察在流形的变形下，里奇曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是里奇-哈密顿流方程^{[注 1]}，是一个拟线性抛物型方程组。

不同时期的里奇流的2D流形.

里奇流以义大利数学家格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗的名字命名，由美国数学家理查德·哈密顿于1981年首次引入。这个工具同时被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼用于解决千禧年大奖难题之一的庞加莱猜想^[1]。同样的，西蒙·布伦德和理查德·肖恩正是使用它，使微分球面定理（英语：Sphere theorem）完成证明。

数学定义

给定黎曼流形上一个度规张量${\displaystyle g_{ij},}$可以计算出里奇张量${\displaystyle R_{ij},}$ 则这个度规张量（以及里奇张量）是一族与时间 t 有关的函数（尽管不一定是真实的物理相关的时间），然后里奇流的定义由以下几何演变方程（geometric evolution equation）给出^[2]：

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}.}$

正规化的里奇流需要结合紧空间流形给出方程：

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{\frac {2}{n}}R_{\mathrm {avg} }g_{ij}.}$

这里的 ${\displaystyle R_{\mathrm {avg} }}$ 是关于标量曲率（为里奇张量的迹）的平均值，${\displaystyle n}$是流形的维数，这个正规化方程保持度量的体积不变。

实际上，这个-2 因数意义不大，因为可以常数乘 t 而使 -2 改写成任意的非零实数。