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重构猜想
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重构猜想(英语:Reconstruction Conjecture),图论中的重构猜想,认为一个图能够由它的子图唯一决定。此猜想由PAUL J. KELLY[1]和斯塔尼斯拉夫·乌拉姆[2][3]共同提出。
正式陈述
给定图 , 其 顶点子图(英文:vertex-deleted subgraph)是在中删除了一个顶点得到的子图. 根据定义, 它是图 的导出子图。
对于图, 其deck, 记作,是由的所有顶点子图的同构类所组成的多重集。中的每一个图被叫做一张 card。两个拥有相同deck的图被称作彼此hypomorphic。
在给了以上的定义后,重构猜想可以表述为:
- 重构猜想: 任何两个顶点数大于等于3的彼此hypomorphic的图是同构的。
- (这里要求两个图的顶点数大于等于3是必要的,因为顶点数为2的图本就有相同的deck)
Harary[4] 提出了一个更强的假设:
- 顶点重构猜想Set Reconstruction Conjecture: 对任意两个顶点数大于等于4的图,若它们的顶点子图均相等,则它们是同构的。
给定图, 其 边子图(英文:edge-deleted subgraph)是在中删除了一条边得到的子图an edge-deleted subgraph of
对于图, 其edge-deck, 记作,是由的所有边子图的同构类所组成的多重集。中的每一个图被叫做一张 edge-card。
- 边重构猜想 Edge Reconstruction Conjecture: (Harary, 1964)[4] 对对任意两个边的个数大于等于4的图,若它们的边子图均相等,则它们是同构的。
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可识别的属性
在重构猜想中,一个图属性被称作 可识别的如果它可以被图的deck确定。以下的这些属性是可识别的:
- 图的边数 – 阶数为的图的边的个数 , ,是可识别的。首先要注意到,中的每一条边会在中 个图中出现。其原因是:根据的定义,每次构造顶点子图时,当删掉的顶点并不是这条边的端点时,它就会在这个顶点子图中出现,因此它会出现次。根据以上这个观察, ,其中是中第i个图的边的个数。[5]
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验证情况
重构猜想和顶点重构猜想在图的阶数小于等于11的情况下均已被Brendan McKay[6]验证。
Béla Bollobás提出,在概率意义下几乎所有的图都是可重构的。 [7] ,这意味着随着图的阶数趋于无穷,一个随机选择的阶数为的图不能被重构的概率趋于0。事实上,可以证明不仅几乎所有的图重构的,而且重构它们并不需要整个deck,几乎所有的图都可以被deck中的3张card来决定。
可重构的图
重构猜想已经在一些种类的图上被验证。
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猜想的规约
如果所有的2-conected图都是可重构的,则重构猜想正确。 [11]
对偶性
顶点重构定理有一定的对偶性质,如果 可重构,则其补 可以以如下方式被重构:从中取出所有的card,分别取补得到,用它来重构 ,再取补得到。
边重构定理并没有这样的对偶性质:事实上,对于某些类型的边-可重构图来说,我们并不知道它们的补能否被边重构。
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其他结构
以下的一些图结构被证明在一般情况下都不能被重构:
- 有向图: 无数种不能被重构的有向图已经被发现:其中包括tournaments (Stockmeyer[12]) 和 non-tournaments (Stockmeyer[13])。 如果一个tournament不是强连接(strongly connected),则是可重构的。[14] 一个针对有向图的弱版本的重构猜想可以详见new digraph reconstruction conjecture。
- 超图 (Kocay[15]).
- 无限图-令无限图T每个顶点的度都为无穷的树,令nT 为n 个T 的disjoint union 。 这些图相互hypomorphic,因此它们并不是可重构的。这些图的任以顶点子图都是同构的:它们都是无数个T的无交并。
另见
- New digraph reconstruction conjecture
- Partial symmetry
更多资料
更多关于重构猜想的内容详见 Nash-Williams的综述[16]
参考资料
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