锁相环范围

hold-in范围、捕获范围（pull-in range，也称为识别范围，acquisition range）及锁定范围（lock-in range）是锁相回路电路有关其频率偏差范围的相关参数，是在不同条件下电路可以锁定外来讯号的资讯。

历史

在1996年锁相环的参考书中^[1][2]，会介绍像hold-in、pull-in、lock-in等锁相环可以锁定的频率范围，以及其他锁相环相关的频率范围。这些参数广为在相关产业使用（例如当代的工业文献^[3][4]以及其他的出版物）。在工程文献中只会对这些参数给予不严谨的定义。 这样的情形多年之后，在有关同步以及通讯的教科书已有共识，在使用这些参数前小心的提供其定义^[5]。之后就出现了严谨的数学定义^[6][7]。

加德纳有关锁定范围定义的问题

佛洛依德·加德纳（英语：Floyd M. Gardner）在其著名著作Phaselock Techniques的第一版，有提到锁定（lock-in）频率的概念^[8]“假如，因为一些原因，输入和VCO的频率差小于回路频宽，回路会几乎瞬间锁定，不会脱步（slipping cycle）。可以快速识别频率的最大频率差称为锁定频率”。其中有关锁定频率以及对应锁定频率的定义非常流行，出现在许多的工程文献上。不过因为在初始状态时，可能完全没有频率差，因此锁相回路一开始运作，在识别频率的过程其实就脱步了。因此在回路是否脱步的分析中，锁相回路的初始状态就非常重要了。Gardner有关锁定频率的概念不太严谨，仍需要澄清。

加德纳在该书的第二版中有提到：“没有一个自然的方式可以精确定义唯一的锁定频率”，另外也提到：“虽然在本质上很含糊，但锁定范围是很有用的概念。”^[9][10]。

定义

• ${\displaystyle \theta _{\Delta }(t)=\theta _{\text{ref}}(t)-\theta _{\text{VCO}}(t)}$，是输入（参考）信号和振荡器（VCO, NCO）信号的相位差。
• ${\displaystyle \theta _{\Delta }(0)}$，是输入信号和VCO信号的初始相位差
• ${\displaystyle \omega _{\Delta }(t)={\dot {\theta }}_{\text{ref}}(t)-{\dot {\theta }}_{\text{VCO}}(t)}$，是输入信号和VCO信号的频率差。
• ${\displaystyle \omega _{\Delta }^{\text{free}}=\omega _{\text{ref}}-\omega _{\text{VCO}}^{\text{free}}}$是输入信号频率和VCO游走频率（free running frequency）信号的差值。

一般而言，${\displaystyle \omega _{\Delta }^{\text{free}}\neq \omega _{\Delta }(0)}$，因为 ${\displaystyle \omega _{\Delta }(0)}$会依VCO的初始输入而定。

锁定状态

锁定状态的定义

在锁定状态（locked state）中

1. 相位误差扰动很小，频率误差很小。
2. 在小幅的相位扰动以及滤波状态后，PLL可以回到锁定状态。

Hold-in范围

Hold-in范围的说明。VCO的游走频率固定，让输入信号频缓慢变化。当ω在hold-in范围内，VCO频率可以校准到对应的数值，称为追踪（tracking）。若在hold-in范围外，VCO无法锁定输入信号

Hold-in范围的定义

在可达到锁定状态的情形下，频率偏差${\displaystyle 0\leq \left|\omega _{\Delta }^{\text{free}}\right|\leq \omega _{h}}$的最大值称为hold-in范围，而${\displaystyle \omega _{h}}$称为hold-in频率^[6][7]。

若锁相环在滤波器状态、VCO和输入信号频率和相位的小扰动后，重新进入锁定状态，此时的频率偏差属于锁定状态。此效果称为稳态稳定性。此外，针对hold-in范围内的频率偏差，输入频率若小幅改变，锁相回路可以重新达到新的锁定状态（追踪过程）。

捕获范围

捕获范围（Pull-in range）也称为是识别范围（acquisition range）、捕捉范围（capture range）^[11]。

假设锁相回路的电源一开始关闭，在${\displaystyle t=0}$时开启。假设初始的频率差够大，回路在一个周期内无法锁定，但VCO频率会慢慢的朝向参考频率移动（识别过程）。此效果称为暂态稳定性。捕获范围（Pull-in range）用来说明识别过程可以稳定的频率偏差范围（在Gardner (1966，第40页)和Best (2007，第61页)中有说明）。

捕获范围定义

捕获范围是在任意相位、初始频率以及滤波器状态下，让PLL可以锁相捕获的最大频率偏差范围${\displaystyle 0\leq \left|\omega _{\Delta }^{\text{free}}\right|\leq \omega _{p}}$的值，而${\displaystyle \omega _{p}}$称为捕获频率（pull-in frequency）^[6][7]。

捕获范围的可靠数值分析很困难，因为在电路中存在隐藏吸引子^[12][13][14]。

锁定范围

假设PLL一开始已锁定，参考频率${\displaystyle \omega _{1}}$突然剧烈变化（步阶变化）。锁定范围（Pull-in range）可以保证在一段时间（可能是很长的一段时间）之内，PLL最后会同步。这种长的的识别过程称为脱步（cycle slipping）。

若初始和最后的相位偏差大于${\displaystyle 2\pi }$，就有脱步（cycle slipping）的情形。

${\displaystyle \exists t>T_{\text{lock}}:\left|\theta _{\Delta }(0)-\theta _{\Delta }(t)\right|\geq 2\pi .}$

不过，有时也会考虑偏差的限制，以及偏差的最大值^[15]

锁定范围的定义

若锁相回路已在锁定状态，在锁定范围（lock-in range）内的突然变化 ${\displaystyle \omega _{\Delta }^{\text{free}}}$（${\displaystyle \left|\omega _{\Delta }^{\text{free}}\right|\leq \omega _{\ell }}$）,锁相回路可以在没有脱步的情形下锁定。${\displaystyle \omega _{\ell }}$称为锁定频率（lock-in frequency）^[6][7]