阿佩尔序列

在数学中，阿佩尔序列是得名于十九世纪法国数学家保罗·埃米尔·阿佩尔（Paul Émile Appell）^[1]的一类多项式序列 {p_n(x)}_{n = 0, 1, 2, ...}。阿佩尔序列满足以下关系：

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

其中的 p₀(x) 是非零常数。

除了一些平凡的例子如 { xⁿ } 以外，最值得注意的阿佩尔序列是埃尔米特多项式、伯努利多项式以及欧拉多项式。所有的阿佩尔序列都是谢弗序列，但要注意的是绝大多数谢弗序列都不是阿佩尔序列。

等价的阿佩尔序列定义方式

最常见的阿佩尔序列的定义就是以上的

• 对所有的 n = 1, 2, 3, ...,

  ${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

  并且 p₀(x) 是一个非零常数

的关系式。此外，以下的条件也可以被验证是与之等价的：

1. 纯数数列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 满足 c₀ ≠ 0，并且

   ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};}$

2. 纯数数列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 满足 c₀ ≠ 0，并且

   ${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},}$

   其中 ${\displaystyle D={d \over dx};}$

3. 对所有的 n = 0, 1, 2, ...,

   ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

递归公式

假设

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

其中后一个等式是在以x为不定元的多项式构成的线性空间中的线性算子 S 的定义式。并定义：

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}}$

为 S 的逆算子，其中的系数 a_k 是形式幂级数的逆系数。这样得到

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

在影子演算的约定中，算子 T 一般被用来代表阿佩尔序列 {p_n}，可以定义对数算子：

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}\right)}$

运用通常的 log(1 + x) 的幂级数展开表达式以及通常的复合形式幂级数定义后，可以得到：

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

当阿佩尔序列是埃尔米特多项式的时候，这个关系式也可以变化为埃尔米特多项式的递推公式。

参见

• 谢弗序列
• 影子演算
• 广义阿佩尔多项式
• Wick积