阿波罗尼奥斯圆

提示：此条目的主题不是阿波罗尼奥斯对圆的研究（英语：Circles of Apollonius）（阿波罗尼奥斯问题的一部分）。

阿波罗尼奥斯圆是两个相关的圆族。第一个圆族的每一个蓝色圆与第二个圆族的每一个红色圆相互正交。这些圆构成了双极坐标系的基。阿波罗尼奥斯圆是希腊数学家阿波罗尼奥斯（古希腊语：Ἀπολλώνιος）发现的。

图 1 ：阿波罗尼奥斯圆。每一个蓝色圆与每一个红色圆相互正交。每一个红色圈都经过点 C 与点 D 。

定义

阿波罗尼奥斯圆是线段定义的，标记此线段为 ${\displaystyle {\overline {CD}}\,\!}$ 。

第一族（蓝色圆）

第一族中的每一个都由一个正实数 r 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 X 的轨迹：

${\displaystyle \left\{X\mid {\frac {d(X,C)}{d(X,D)}}=r\right\}.}$

即 X 到 C 的距离与 X 到 D 的距离之比值为 r.

当 r 很接近零时，相应的圆会靠近 C 的一侧，而对接近 ∞ 的 r, 相应的圆则靠近 D 的一侧。至于当r = 1 时，该圆会退化为线段 CD 之中垂线。

第二族（红色圆）

第二族中的每个圆都由角 θ 确定， 这些圆定义为满足下列条件的点 X 的轨迹：

${\displaystyle \left\{X\mid \;\measuredangle CXD\;=\theta \right\}.}$

其中${\displaystyle \measuredangle CXD}$ 表示 CXD 的有向角。

当 θ 取遍 0 到 π 之所有值时，上式生成所有经过 C 和 D 的圆。

性质

不一样圆圈的固定比例 ${\displaystyle k\,\!}$ 必不一样。每一个蓝圆与蓝圆之间互不同心，互不相交。

每一个蓝圆与每一个红圆以直角相交，可以简易地解释如下：关于一个圆心为点 C 的圆 Q ，一族的蓝阿波罗尼奥斯圆的反演像，形成了一组同心圆，其圆心在点 D' 。点 D 关于圆 Q 的反演是点 D' 。同样的变换把一族的红圆反演为一组从点 D' 放射出来的直线。这样，反演将双极坐标变换为极坐标。在极坐标里，每一条径向线与 圆心为原点的圆圈 以直角相交。由于反演是一个共形变换，所以，每一个蓝圆圈与每一个红圆圈以直角相交。

双极坐标系

主条目：双极坐标系

一对给定的蓝色圆（${\displaystyle \tau \,\!}$-等值曲线）和红色圆（${\displaystyle \sigma \,\!}$-等值曲线）能够产生两个交点，为取得双极坐标系，需要通过一种方法指定正确的点。

等角弧是点 X 的轨迹，其与点 C 与 D 分别形成的向量之间满足以下的有向角关系：

$${\displaystyle \operatorname {isopt} (\theta )=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +2k\pi \right\}.}$$

这样的弧在红色圆内，并以点 C 与 D 为界，而圆的剩余部分由 isopt(θ + π) 给出。整段红色圆的描述则由两直线之间的夹角给出：

$${\displaystyle {\text{full red circle}}=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +k\pi \right\}}$$

参阅

• 反演

参考文献

• C. Stanley Ogilvy (1990), Excursions in Geometry, Dover. ISBN 0-486-26530-7。