阿贝尔不等式

阿贝尔不等式（Abel's inequality），由尼尔斯·阿贝尔（挪威语：Niels Henrik Abel）提出，给出了两个向量内积绝对值的上界。

设{a₁, a₂,...}为单调递减或单调递增的实数集并设{b₁, b₂,...}为实数集或复数集。

如果{a_n}单调递增：

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|+a_{n}-a_{1}),}$

${\displaystyle B_{k}=b_{1}+\cdots +b_{k}.}$

如果{a_n}单调递减：

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|-a_{n}+a_{1}),}$

阿贝尔不等式可从阿贝尔变换轻易得出：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k+1}-a_{k}).}$

参考资料

• 埃里克·韦斯坦因. Abel's inequality. MathWorld.
• Abel's inequality （页面存档备份，存于互联网档案馆） in Encyclopedia of Mathematics.