除数函数

在数论上，除数函数 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)}$ 是一类算术函数，定义为 ${\displaystyle n}$ 的正因数的 ${\displaystyle x}$ 次幂之和，即 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}}$。

其中一些特殊情况：

• ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ ：${\displaystyle n}$ 的正因数的数目
• ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$ ：${\displaystyle n}$ 的正因数之和（包括自己），若扣除${\displaystyle n}$本身则称为真因数和。

部分 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)}$ 的值

${\displaystyle n}$	${\displaystyle x}$
	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

性质

• ${\displaystyle \sigma _{x}(n)}$ 都是积性函数，但不是完全积性。
• ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}}$，其与 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x})}$（${\displaystyle n}$ 的各因数的 ${\displaystyle x}$ 次方后的和，其在 ${\displaystyle x=1}$ 时即为 ${\displaystyle n}$ 包括 ${\displaystyle n}$ 本身在内的各因数的和）相等。
• ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}.}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}$

参考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9