鸡爪定理

欧氏几何中，鸡爪定理^[1]（或内心/旁心引理，英语：incenter/excenter lemma）描述三角形的顶点、内心、旁心、外接圆的位置关系。其断言，三角形某顶点${\displaystyle B}$所对的旁心${\displaystyle I_{B}}$、另两个顶点${\displaystyle A}$、${\displaystyle C}$、内心${\displaystyle I}$四点共圆，且其圆心（${\displaystyle II_{B}}$中点）位于三角形的外接圆${\displaystyle \odot ABC}$上。此定理的构形常于奥数几何题出现。^[2]

叙述

鸡爪定理：三条红色线段等长

设${\displaystyle \triangle ABC}$为任意三角形，${\displaystyle I}$为其内心，${\displaystyle \angle ABC}$的角平分线${\displaystyle BI}$交外接圆${\displaystyle \odot ABC}$于${\displaystyle D}$。定理断言，${\displaystyle D}$到${\displaystyle A,C,I}$三点等远，即${\displaystyle DA=DC=DI}$。

等价的说法有：

• 过${\displaystyle A,C,I}$三点的圆，圆心位于${\displaystyle D}$。这尤其说明该圆的圆心在于原三角形的外接圆上。^[3][4]
• 诸三角形${\displaystyle AID,CID,ACD}$皆为等腰，${\displaystyle D}$为其顶角。

还有第四点${\displaystyle I_{B}}$也到${\displaystyle D}$等远，就是${\displaystyle B}$所对的旁心。在以${\displaystyle D}$为圆心的圆上，${\displaystyle I_{B}}$与${\displaystyle I}$互为对径点，即${\displaystyle D}$为${\displaystyle II_{B}}$的中点。^[5][6]

证明

由于同弧所对的圆周角相等，有

${\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.}$

又${\displaystyle BI}$为角${\displaystyle B}$的平分线，有

${\displaystyle \angle DCA=\angle DAC,}$

故${\displaystyle DA=DC}$得证（等圆周角对等弦）。

最后计角有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}}$

所以三角形${\displaystyle DIA}$有两底角相等，证毕${\displaystyle DA=DI}$。

应用于求作三角形

定理适用于解决以下问题：已知某三角形的一个顶点${\displaystyle B}$、内心${\displaystyle I}$和外心${\displaystyle O}$，求作该三角形。作法如下：

1. 以${\displaystyle O}$为圆心，${\displaystyle OB}$为半径，作圆。此为三角形的外接圆。
2. 作直线${\displaystyle BI}$，与外接圆交于（${\displaystyle B}$以外的另一点）${\displaystyle D}$。
3. 以${\displaystyle D}$为圆心，${\displaystyle DI}$为半径作圆，定理保证所得的圆过另两个顶点${\displaystyle A,C}$。
4. 所以，该圆与外接圆的交点${\displaystyle A,C}$即为所求。^[7]

然而，并非在平面上任意取三点作为${\displaystyle B,I,O}$皆有对应的三角形。若以上作法不能给出三角形，则问题可能出在${\displaystyle IB}$与${\displaystyle \odot O}$相切，也可能在于最后两圆相切或外离。而且，若${\displaystyle B,I,O}$三点无任何限制，则即使作法确实给出三角形，${\displaystyle I}$亦不必为其内心，可能是旁心。该些情况下，不存在三角形以${\displaystyle B}$为顶点，${\displaystyle I}$为内心、${\displaystyle O}$为外心。（对于固定的${\displaystyle B,O}$两点，若要存在此种三角形，则${\displaystyle I}$必须位于以${\displaystyle B}$为尖点关于${\displaystyle \odot O}$作成的心脏线围成的区域中。）^[8]

其他构作三角形的问题，如给定顶点、内心、九点圆心，求作三角形，有部分情况可化归为前述问题解决，但一般而言无法尺规作出。^[8]

命名

本定理有许多不同的名称。“鸡爪定理”得名自${\displaystyle DA,DI,DC}$诸线段组成的几何图形。同样，俄文称为лемма о трезубце语言代码 rus 已升格为代码 ru^[9][5]，谓三叉引理，或теорема трилистника语言代码 rus 已升格为代码 ru^[10]，谓三叶草定理。英文又称theorem of trillium“延龄草定理”，亦是以某种三叶植物命名。

定理亦有其他名称并非来自该形状，如“内心/旁心引理”（the incenter/excenter lemma）。^[2]