霍特林引理

霍特林引理（Hotelling's lemma）是微观经济学中的一个推论，可以由包络定理得到。这个引理非常简单，其内容为：

设${\displaystyle y(p)}$为厂商的净供给函数，自变量为商品价格${\displaystyle p}$，则：

${\displaystyle y(p)={\frac {\partial \pi (p)}{\partial p}}}$，

其中${\displaystyle \pi }$是厂商的利润函数，自变量同样为价格。这个引理的前提是价格为正且利润函数可微。

该引理首先由哈罗德·霍特林得到，故而得名。^[1]

证明

设共有${\displaystyle n}$种商品，第${\displaystyle i}$种商品的价格为${\displaystyle p_{i}}$，净供给为${\displaystyle y_{i}(\mathbf {p} )}$。厂商的利润函数${\displaystyle \pi (\mathbf {p} )=\max _{\mathbf {y} (\mathbf {p} )}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y} (\mathbf {p} )}$，根据包络定理

${\displaystyle {\frac {\partial \pi }{\partial \mathbf {p} }}=\left.{\frac {\partial (\mathbf {p} \cdot \mathbf {y} (\mathbf {p} ))}{\partial \mathbf {p} }}\right\vert _{\mathbf {y} (\mathbf {p} )=\mathbf {y} ^{*}(\mathbf {p} )}=\mathbf {y} ^{*}(\mathbf {p} )}$。