馀函数

  本条目介绍的是三角函数中的一个概念，馀函数也可以指特定情况下微分方程的通解。

在数学中，馀函数（cofunction或complementary function） 是一个用来描述三角函数间关系的术语。如果函数 f 是函数 g 的馀函数，那么 f 的函数值等于对应馀角代入函数 g 的函数值，也就是说，若f(A) = g(B)，则A与B互为馀角（即两个角之和为直角）。^[1]这个定义通常适用于三角函数。^[2][3] 某个函数的馀函数通常会在原函数的名称加上“co-”前缀，这样的用法最早可以追朔到埃德蒙·冈特（英语：Edmund_Gunter）在1620年的著作《Canon triangulorum》中。^[4][5]

定义

如果一个三角函数 f 是函数 g 的馀函数，此时若：

${\displaystyle f(x)=g(y)}$

则x和y互为馀角：

${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-y}$

${\displaystyle x=90^{\circ }-y}$

对于非三角函数（如双曲函数），或者定义域所代表的意义并非角的度量，则不适用于以上定义。但有些馀函数的定义是参考于与其相关的三角函数，例如双曲正弦、双曲馀弦、古德曼函数以及馀古德曼函数是在定义中将对应的三角函数替换为馀函数来定义。

例如，正弦（sine，拉丁语：sinus）和馀弦（cosine，拉丁语：cosinus^[4][5]、sinus complementi^[4][5]）互为馀函数（所以馀弦名称有一个“馀”字，cosine且以“co-”为前缀）：

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}$[1][3]

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}$[1][3]

正割（secant，拉丁语：secans）和馀割（cosecant，拉丁语：cosinus、secans complementi）以及正切（tangent，拉丁语：tangens）和馀切（cotangent，拉丁语：cotangens^[4][5]、tangens complementi^[4][5]）也互为馀函数：

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}$[1][3]	${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}$[1][3]
${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}$[1][3]	${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}$[1][3]

这些等式也称为馀函数恒等式。^[2][3]

馀函数列表

其他互为馀函数的三角函数还有：

• 正矢（versed sine，缩写ver）和馀矢（coversed sine，cvs）
• 馀的正矢（versed cosine，缩写vcs）和馀的馀矢（coversed cosine，cvc）
• 半正矢（haversine，缩写hav）和半馀矢（hacoversine，缩写hcv）
• 馀的半正矢（havercosine，缩写hvc）和馀的半馀矢（hacovercosine，缩写hcc）
• 正弧和馀弧
• 外正割（exsecant，缩写exs）和外馀割（excosecant，缩写exc）

正弦和馀弦	${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}$[1][3]	${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}$[1][3]
正割和馀割	${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}$[1][3]	${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}$[1][3]
正切和馀切	${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}$[1][3]	${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}$[1][3]
正矢和馀矢	${\displaystyle \operatorname {ver} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvs} (A)}$[6]	${\displaystyle \operatorname {cvs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {ver} (A)}$
馀的正矢和馀的馀矢	${\displaystyle \operatorname {vcs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvc} (A)}$[7]	${\displaystyle \operatorname {cvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {vcs} (A)}$
半正矢和半馀矢	${\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcv} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {hcv} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hav} (A)}$
馀的半正矢和馀的半馀矢	${\displaystyle \operatorname {hvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcc} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {hcc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hvc} (A)}$
外正割和外馀割	${\displaystyle \operatorname {exs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exc} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {exc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exs} (A)}$

正函数与馀函数

馀函数不一定是代表两函数间的关系，也可以是一种函数的分类。例如三角函数也可以根据性质区分成正函数与馀函数。例如正弦、正切、正割可以称为正函数，而馀弦、馀切、馀割则称为馀函数。正函数代表的是对于该正角在单位圆上割圆八线的各段长度；馀函数代表的是对于该馀角在单位圆上割圆八线的各段长度。

参见

• 双曲函数
• 双纽馀弦（英语：Lemniscatic cosine）
• 雅可比椭圆馀弦
• 协方差
• 三角恒等式