麦克斯韦应力张量

在电磁学里，马克士威应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。马克士威应力张量可以表现出电场力、磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况，例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场，应用劳仑兹力定律，就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是，当遇到稍微复杂一点的状况时，这很普通的程序会变得非常困难，方程式洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此，物理学家通常会聚集很多项目于马克士威应力张量内，然后使用张量数学来解析问题。

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。

詹姆斯·马克士威

导引

为了方便参考，先列出马克士威方程组：

马克士威方程组（国际单位制）

名称	微分形式
高斯定律	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
高斯磁定律	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}$
法拉第感应定律	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
马克士威-安培定律	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁场，${\displaystyle \rho }$ 是电荷密度，${\displaystyle \mathbf {J} }$是电流密度，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ 是电常数，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常数。

从劳仑兹力定律开始，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 是

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$ 。

应用高斯定律和马克士威-安培定律，把电荷密度和电流密度替换掉，只让电场和磁场出现于方程式：

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }$ 。

应用乘积法则和法拉第感应定律：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}$ ，

稍加编排，将 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 写为

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\\&=\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\\\end{aligned}}}$ 。

为了使 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ 的项目 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ 的项目能够相互对称，加入一个 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ 项目：

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)}$ 。

应用向量恒等式，对于任意向量 ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}A^{2}-(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$，

将 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 的方程式内的旋度项目除去：

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)}$ 。

这方程式最右边项目涉及了坡印廷向量 ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ：

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ 。

设定马克士威应力张量 ${\displaystyle {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}}$ （以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量）：

${\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)}$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}}$ 是克罗内克函数。

定义一个向量 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 与马克士威应力张量 ${\displaystyle {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}}$ 的内积为

${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }})_{j}=\textstyle {\sum _{i}}\ A_{i}T_{ij}}$ 。

那么，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 是

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$ 。

马克士威应力张量的性质

马克士威应力张量是一个对称张量，表达为

${\displaystyle T_{ij}=\left({\begin{matrix}\epsilon _{0}(E_{x}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}(E_{y}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})&\epsilon _{0}(E_{z}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{z}^{2}-B^{2}/2)\end{matrix}}\right)}$ 。

马克士威应力张量的单位是牛顿／公尺²。马克士威应力张量的 ij 元素诠释为，朝著 i-轴方向，施加于 j-轴的垂直平面，单位面积的作用力；对角元素代表负压力，非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力（拖拉力）作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力，在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。

动量守恒定律

在一个体积 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ 内的电荷，所感受到的总作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 是

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {f} \mathrm {d} \tau =\int _{\mathcal {V}}\ \nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\mathrm {d} \tau -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau }$ 。

应用散度定理，可以得到

${\displaystyle \mathbf {F} =\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau }$ ；

其中，${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 是体积 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ 的闭合表面。

根据牛顿第二定律，

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {p} }$ 是动量。

所以，电荷的动量 ${\displaystyle \mathbf {p} _{charge}}$ 可以表达为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{charge}}{\mathrm {d} t}}=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{em}}{\mathrm {d} t}}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {p} _{em}=\epsilon _{0}\mu _{0}\oint _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau }$ 是储存于电磁场的动量（坡印廷向量 ${\displaystyle \mathbf {S} }$ 是由电场和磁场组成的一个复合向量）。

稍加编排，可以得到动量守恒定律的积分方程式：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} _{charge}+\mathbf {p} _{em})=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }$ 。

动量守恒定律阐明，一个体积的总动量（电荷的动量加上电磁场的动量）的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的马克士威应力张量 ${\displaystyle -}$${\displaystyle {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}}$ 是一个动量通量密度。

动量守恒定律也能以微分形式表达为

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}({\mathfrak {p}}_{charge}+{\mathfrak {p}}_{em})=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}}$ ；

其中，${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{charge}}$ 是电荷的动量密度，${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{em}}$ 是电磁场的动量密度。

相关条目

• 电磁能量密度
• 坡印廷向量
• 电磁应力-能量张量
• 电磁场的数学表述

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Jefimenko, Oleg. Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields. American Journal of Physics. Nov 1983, 51 (11): pp. 988–996. 引文格式1维护：冗余文本 (link)^{[永久失效链接]}